230问答网 > 已知a*根号（1-b2）+b*根号（1—a2）=1，求证a2+b2=1

已知a根号（1-b2）+b根号（1—a2）=1，求证a2+b2=1

2024-12-31 04:40:32

推荐回答（3个）

回答1：

证明：易知，1-a²≥0,且1-b²≥0.∴由题设及柯西不等式可得:(a²+b²)[(1-b²)+(1-a²)]≥(a√(1-b²)+b√(1-a²)]²=1.即：(a²+b²)[2-(a²+b²)]≥1.===>(a²+b²)²-2(a²+b²)+1≤0.===>0≤[(a²+b²)-1]²≤0.===>a²+b²=1.证毕。

回答2：

回答3：

证明：
根据题意我们知道：b^2<=1 a^2<=1
因此：IaI<=1 IbI<=1
因此我们可设：sinx=a siny=b
则有：sinx根号（1-siny^2)+siny根号（1-sinx^2)=1
sinxcosy+sinycosx=1
sin(x+y)=1
则x+y=π/2
即：x、y互余，则sinx=cosy
所以：a^2+b^2=(sinx)^2+(siny)^2=(cosy)^2+(siny)^2=1
问题得证。