不是的。
《婚姻法》第二十二条规定“子女可以随父姓，可以随母姓。”注意其法律用语是“可以”而不是应当。
在法律上，“可以”是指你这样做也行，不这样做也行，例如“可以向人民法院起诉”是说的当事人可以起诉，也可以不起诉。
而“应当”则是必须的意思，不做为则是违法行为，如“对于人民法院的生效判决，被执行人应当执行”，如果不执行，就要被依法强制执行了。所以子女随谁的姓跟户口无关。。
不一定。 取决于你给孩子取什么姓。
当然不一定，随父母都可以的。
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