一道超难超难超难的数学题 答得好还可加分

长、宽形成勾股数组，再利用整数的奇偶性证明，很简单

长是4 宽是3 对角线是5 面积是12
或 长8 宽6 对角线10 面积48

3²+4²=5²
5²+12²=13²
勾股定理
则长为4、12……的倍数，宽为3、5……的倍数
3×4÷12=1
5×12÷12=5
则长乘宽必为12的倍数，即面积为12的倍数。

根据条件可知，如果将此矩形沿对角线分为两个完全相等的三角形，此三角形刚好符合“勾三股四弦五”定律（即勾股定律），而且三角形的“勾股”即为矩形的"长宽"，故，矩形的面积（长X宽）=勾X股=3X4=12，如果此矩形放大或缩小，要满足所示“长宽、对角线都为整数”的条件，则必定其“长X宽”也必定呈整数放大或缩小，即12的倍数。

在矩形中，长宽以及对角线都是整数意味着，在由长（a）宽（b）和对角线（c）构成的直角三角形中，a^2+b^2=c^2且a,b,c均为正整数
所以a,b,c满足a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)（其中k,m,n均为正整数）
所以矩形面积为S=ab=2k^2*mn*(m-n)*(m+n)
1.若m,n除以3余数相同，即m≡n(mod 3)，则m-n必能被3整除，又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数，所以S能被12整除；（包含余数对为<0,0>,<1,1>,<2,2>）
2.若m,n分别除以3后，余数之和为3或0，则(m+n)必能被3整除，又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数，所以S能被12整除；（包含余数对为<1,2>,<2,1>）
3.若m,n中有一个除以3余0，则m和n中有一个必能被3整除，又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数，所以S能被12整除；（包含余数有一个为0的所有情况）
上面三种情况包含了所有余数的情况
综上所述，S总能被12整除，所以这个矩形的面积必为12的倍数