历年来湛江中考数学最后三道题的题目及解题过程

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+1与x轴正半轴交于点F（16，0），与y轴正半轴交于点E（0，16），边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q（运动时，点P不与A，B两点重合，点Q不与C，D两点重合）．设点A的坐标为（m，n）（m＞0）．

①当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标；

②在①的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围；

③当n=7时，是否存在m的值使点P为AB边的中点，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）由抛物线y=ax2+c经过点E（0，16），F（16，0）得：

 {O=162a+c16=c

解得 {a=-116c=16，（3分）

∴ y=-116x2+16．（4分）

（2）①过点P做PG⊥x轴于点G，

∵PO=PF，

∴OG=FG，

∵F（16，0），

∴OF=16，

∴OG= 12，OF= 12×16=8，

即P点的横坐标为8，

∵P点在抛物线上，

∵m＞0，

∴y= -116×82+16=12，

即P点的纵坐标为12，

∴P（8，12），（6分）

∵P点的纵坐标为12，正方ABCD边长是16，

∴Q点的纵坐标为-4，

∵Q点在抛物线上，

∴ -4=-116x2+16，

∴ x1=85，x2=-85，

∵m＞0，∴ x2=-85(舍去)∴ x=85，

∴ Q(85，-4)．（8分）

②8 5-16＜m＜8 ．（10分）

③不存在．（11分）

理由：当n=7时，则P点的纵坐标为7，

∵P点在抛物线上，

∴ 7=-116x2+16，

∴x1=12，x2=-12，

∵m＞0

∴x2=-12（舍去）

∴x=12

∴P点坐标为（12，7）

∵P为AB中点∴ AP=12AB=8，

∴点A的坐标是（4，7），

∴m=4，（12分）

又∵正方形ABCD边长是16，

∴点B的坐标是（20，7），点C的坐标是（20，-9），

∴点Q的纵坐标为-9，

∵Q点在抛物线上，

∴ -9=-116x2+16，

∴x1=20，x2=-20，

∵m＞0，

∴x2=-20（舍去）

∴x=20，

∴Q点坐标（20，-9），

∴点Q与点C重合，这与已知点Q不与点C重合矛盾，

∴当n=7时，不存在这样的m值使P为AB的边的中点． （14分）

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