2001的2003次方除以13的余数是多少?

余数为12。

因为2002能够被13整除，（2002＝13*154）
再根据二项式定理展开，可得
2001^2003=(2002-1)^2003
=2002^2003+C(2003)(1)2002^2002*(-1)^1
+…+C(2003)(1)2002^1*(-1)^2002+(-1)^2003
展开式中只有最后一项中不含有2002的整数次幂，
所以，将右边最后一项移到左边，得到
2001^2003-(-1)^2003=2001^2003+1能够被13整除。
所以2001^2003除以13的余数为12。

注：2001^2003的意思是2001的2003次方；
C(2003)(1)是指二项式定理中的系数。

这个题目需有二项式展开的预备知识。不知道楼主清楚否？
例如
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
(a+b)^4 = a^4 + 4a3^b + 6a^2b^2+4ab^3+b^4
……
(a+b)^n = a^n + 系数*a^(n-1)*b + 系数*a^(n-2)*b^2 + …… + 系数*a*b^(n-1) + b^n

2001 = （154 × 13） - 1 = X - 1
其中 X 代表154 × 13。 X的任何次方都可以被13整除，对余数没有贡献

对 (X-1)^2003 进行二项式展开：
(X-1)^2003 = 一个多项式 - 1

多项式中的每一项都含有X，即多项式中每一项都能被13整除。
所以余数为 -1。即相当于 余数为 12。

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其中的多项式为
X^2003 + 整数系数*X^2002 + 整数系数*X^2001 + …… 整数系数*X

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符号 ^ 表示乘方运算。

等于2001除以13的余数的2003次方
结果是12的2003次方