(a^2+b^2)⼀√ab ≥a+b,如何证明？

2024-12-03 15:51:22

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回答1：

证明(a^2+b^2)/√ab ≥a+b
就是证明a^2+b^2 ≥a√ab+b√ab
移项a^2-a√ab+b^2-b√ab≥0
a√a(√a-√b)+b√b(√a-√b)≥0
(√a-√b)(a√a-b√b)≥0
若√a>√b，则a√a>b√b，不等式成立
若√a<√b，则a√a以上各步可逆，所以原不等式成立

回答2：

如果a,b同时小于0，该式明显成立
如果a,b同时大于0，那么（√a-√b）[(√a)³-(√b)³]≥0一定成立
整理即为原式

回答3：

(a^2+b^2)/√ab -a-b
=(a(a-√ab )+b(b-√ab ))/√ab
=((a√a-b√b)(√a-√b ))/√ab
(a√a-b√b)和(√a-√b )同向所以≥0

以上倒推上去就好了