用紧致性证明实数上的有界闭集有最大值

2024-12-14 06:15:12

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回答1：

应该来说实数上的有界闭集有最大值，可以联系到函数f在闭区间上连续有最大值和最小值来理解。实数可以一一对映到函数f上。只需给个对映相等值的函数就行。
原命题可以说函数f在某个闭区间上连续有界，则f在该闭区间上有最大值最小值。
证明：由f有界，故由确界原理，f在闭区间上有上确界，记为M，即现在证明存在一点在该闭区间内有其函数值为M，设闭区间为[a,b]，即需证明存在一点x0属于[a,b]，使得f(x0)=M。
反证法：设对一切x属于[a,b]都有f(x) 令g(x)=1/[M-f(x)]，x属于[a,b]
易知函数g(x)在[a,b]上连续，故g在[a,b]上有界，设G是g的一个上界，则有：
0 从而推得：f(x)<=M-1/G
但这与M为f(x)的上确界相矛盾。所以必存在x0属于[a,b]，使得f(x0)=M，即f在闭区间[a,b]上有最大值。即证！
纯属个人见解！！！