（1）当a=b=-3时，f（x）=（x3+3x2-3x-3）e-x，
故f′（x）=-（x3+3x2-3x-3）e-x+（3x2+6x-3）e-x=-e-x（x-3-9x）=-x（x-3）（x+3）e-x
当x＜-3或0＜x＜3时，f′（x）＞0；
当-3＜x＜0或x＞3时，f′（x）＜0．
从而f（x）在（-∞，-3），（0，3）单调递增，在（-3，0），（3，+∞）单调递减；
极大值为f（-3）=6e3，f（3）=42e-3，极小值为f（0）=-3
（2）a=6+
，b=5+1 n
，f（x）=[x3+3x2+（6+1 n
）x+（5+1 n
）]e-x，1 n
f′（x）=-[x3+3x2+（6+
）x+（5+1 n
）]e-x+[3x2+6x+（6+1 n
）]e-x=-e-x（x3+1 n
x-1）1 n
令f′（x）=-e-x（x3+
x-1）=0即x3+1 n
x-1=01 n
因为g（x）=x3+
x-1在R上递增，f（0）=-1＜0，f（1）=1 n
＞01 n
∴x3+
x-1=0有唯一解1 n
（i）因为0＜ai＜1，则有ai3＜ai，
+
a
＝1，ai i
＝1?ai i
＞1?ai
a
所以ai ＞
所以i 1+i
＜1
(1+i)2ai
1 i(i+1)
n i＝1
＜1
(1+i)2ai
n i＝1
＝1?1 i(i+1)
＝1 n+1
n n+1
由ai ＞
可得an＞i 1+i
，所以n 1+n
n i＝1
＜an1
(1+i)2ai
（ii）证明：
+
a
＝1显然0＜an＜1an n
又
+
a
＝1，两式相减得(an+1?an) (an+1 n+1
+an+1an+
a
+
a
)＞01 n
所以an+1＞an，故1＞an+1＞an＞0
f（an）=（3
+6an+6+
a
）e?an，又1 n
+
a
＝1，所以an n
＝1 n
1?
a
an
所以f（an）=（
+6an+6+
2a
） e?an，an∈（0，1）1 an
构造函数g（x）=
+6x +6+
(2x
)e?x，x∈（0，1）1 x
g′（x）＜0所以g（x）在（0，1）上是减函数，
又1＞an+1＞an＞0
所以g（an）＞g（an+1）＞g（1）=
15 e
即f（an）＞f（an+1）＞
．15 e
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