230问答网 > 已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常数，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常数，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2

2025-01-03 14:19:52

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回答1：

（1）当a=1时，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-

x-1

，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；
当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）为单调递增．
∴当x=1时f（x）取得极小值，f（x）的极小值为f（1）=1，f（x）无极大值；
（2）∵f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，
∴ax-lnx≥3在x∈（0，e]上恒成立，即a≥

lnx

在x∈（0，e]上恒成立，
令 g(x)=

lnx

，x∈（0，e]，
则 g ′ (x)=-

x 2

1-lnx

x 2

2+lnx

x 2

，
令g′（x）=0，则 x=

e 2

，
当 0＜x＜

e 2

时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增，
当

e 2

＜x＜e 时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减，
∴ g(x ) max =g(

e 2

)=3 e 2 -2 e 2 = e 2 ，
∴a≥e² ，即a的取值范围为a≥e² ．