求函数z=4(x-y)-x눀-y눀的极值

2024-12-31 01:25:58
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回答1:

解:
z=4(x-y)-x²-y²
=-x²+4x-4-y²-4y-4+8
=-(x-2)²-(y+2)²+8
=8-[(x-2)²+(y+2)²]
平方项恒非负,两非负项之和恒非负,(x-2)²+(y+2)²≥0
8-(x-2)²+(y+2)²≤8
x→∞或y→∞时,(x-2)²+(y+2)²→+∞
8-(x-2)²+(y+2)²→-∞
综上,得:函数的最大值为8,没有最小值。

回答2:

解:z对x,y,z求导:zx=4-2x
zy=4-2y
令zx=0
zy=0
fz=1则x=y=2
∴(2,2)是驻点
二次偏导:zxx=-2
zxy=zyx=0
zyy=-2
A=zxx=-2
B=xy=0
C=zyy=-2
Δ=AC-B^2=4>0
∴(2,2)是极值,又∵A<0
∴(2,2)是极大值,极大值z=4*(-2+2)-4-4=-8