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求0≤y≤sinx，0≤x≤π所示平面图形绕y轴旋转所得立体的体积。

可以用柱壳法吗？

2025-01-03 19:00:23

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回答1：

由y=sinx（0≤x≤π），得x=arcsiny（0≤x≤π2）和x=π-arcsiny（π2≤x≤π），
从而所求旋转体体积是这两个曲线与坐标轴所围成平面图形绕y轴旋转而成旋转体的体积之差
∴V=π∫

1

0

(π-arcsiny)2dy-π∫

1

0

(arcsiny)2dy
=π∫

1

0

[π2-2arcsiny]dy
=π3-2π[yarcsiny|

1

0

-∫

1

0

y

1-y2dy]
=π3-π2-2

1-y2|

1

0

=π3-π2-2