极限的ε-δ定义证明

函数极限定义：设函数f（x）在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正数δ，使得当|x-xo|<δ时，|f（x）-A|<ε成立，那么称A是函数f（x）在x0处的极限。

如limx^3=27X趋近3时的极限：因为x趋近3，只考虑x＝3近旁的X值即可，不妨令|x-3|<12

因此，对于任意ε>0，总存在正数δ＝min（1，ε/37）取最小值，使得当|x-3|<δ时，|f（x）-27|<ε成立，故，27是函数f（x）=x^3在x=3处的极限。

N的相应性　

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

函数极限定义： 设函数f(x)在x0处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正数δ，使得当 |x-xo|<δ时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在x0处的极限。 如limx^3=27 X趋近3时的极限： 因为x趋近3，我们只考虑x＝3近旁的X值即可，不妨令|x-3|<1 20，总存在正数δ＝min(1，ε/37)取最小值，使得当 |x-3|<δ时，|f(x)-27|<ε成立， 故，27是函数f(x)=x^3在x=3处的极限。

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