已知函数f(x)=2x-1⼀2x+1.求函数的值域(2)判断并证明函数的单调性

2024-12-23 11:16:07
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回答1:

首先,f(x)=2x-1/2x+1 (我理解为f(x)=2x-(1/2x)+1) 的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),显然 f(x) 在其定义域上可导。其导函数 f'(x)=2+1/(2x^2),显然在上述定义域上恒大于0. 故 f(x) 在其定义域上是严格单调递增的。当 x→ -∞ 时,f(x)→ -∞,当 x→ 0(从小于0的方向趋于0)时,f(x)→ +∞,当x→ 0(从大于0的方向趋于0)时,f(x)→ -∞,当x→+∞ 时,f(x)→ +∞. 故知 f(x) 的值域是(-∞,+∞).

注:由f(x)的连续性及其严格单调递性,可得f(x)在(-1,-1/2) 以及(1/4,1/2)上各有一个使得f(x)=0 的两个根,且仅有两个根。