第一步:
设A = (a1, a2, ..., an), B = E - A = (b1, b2, ..., bn),
则AB = A(E - A) = A - A^2 = 0.
可见b1, b2, ..., bn都是齐次线性方程组Ax = 0的解向量,
因而能由Ax = 0的基础解系c1, c2, ... ct线性表示, 其中t = n - r.
故秩(B) = 秩(b1, b2, ..., bn) 小于或等于 n - r.
由此可得 秩(A) + 秩(B) 小于或等于 n.
另一方面, A + B = A + E - A = E,
故n = 秩(E) = 秩(A + B) 小于或等于 秩(A) + 秩(B).
综合上述两个方面可得 秩(A) + 秩(B) = n.
第二步:
不妨设 a1, a2, ..., ar 为 a1, a2, ..., an 的一个极大无关组,
b1, b2, ..., bt为 b1, b2, ..., bn 的一个极大无关组,
则a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt线性无关
(否则秩(a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt) < n,
而a1, a2, ..., an及b1, b2, ..., bn都能由a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt线性表示,
故n = 秩(E) = 秩(A + B) 小于或等于 秩(A, B) = 秩(a1, a2, ..., an, b1, b2, ..., bn) 小于或等于 秩(a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt) < n, 矛盾!).
于是得n阶可逆矩阵(a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt).
第三步:
令P^-1 = (a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt).
则AP^-1 = A(a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt) = (Aa1, Aa2, ..., Aar, Ab1, Ab2, ..., Abt)
= (a1, a2, ..., ar, 0, 0, ..., 0)
= (a1, a2, ..., ar, b1, b2, ..., bt)(Er 0 底下还有两个0)
= P^-1(Er 0 底下还有两个0).
上式两端同时左乘以P可得PAP^-1 = (Er 0 底下还有两个0).
这个好象只能用特征值及矩阵的对角化来解决
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