一阶导数有界 原函数有界为什么

用拉格朗日中值定理证明，在（0,1）上可导表示函数在（0,1）上连续，函数的导数有界，则任意的(f(x)-f(x0))/(x-x0)有界,其中x-x0小于1，则函数f(x)有界。

f'(x)在(a,b)上有界，f(x)在在(a,b)一定有界

f(x)在(a,b)上无界，f'(x)在(a,b)上一定无界

在无穷区间上，以f(x)或f'(x)无界为条件分别推不出他们关于有界与无界的结论。

扩展资料：

设函数f(x)是某一个实数集A上有定义，如果存在正数M 对于一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的则称函数f(x)在A上有界，如果不存在这样定义的正数M则称函数f(x)在A上无界 设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）

参考资料来源：百度百科-有界函数

手写的证明

用拉格朗日中值定理证明，在（0,1）上可导表示函数在（0，1）上连续，函数的导数有界，则任意的(f(x)-f(x0))/(x-x0)有界,其中x-x0小于1，则函数f(x)有界。（发现用泰勒展开好像也可以，就0次展开，有一阶的泰勒余项）。

导数必须是在有限区间内有界，它的原函数才必有界。

首先需要指出的一点是函数f(x)有界并不能说明其有导函数或者原函数，问题的反例例如狄利克雷函数，因此这里的问题是需要加一个前提是：f（x）有界，并且其导函数以及原函数都是存在的情况下来讨论其有界性：
答案是否定的，反例如下：
f(x)=1/x，x∈[1，+∞）显然其原函数并不是有界的
另外取f(x)=√x，x∈(0,1]此时其导函数是无界的。