2006年上海数学高考题

2006年上海高考数学试卷（文科）
一．填空题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1． 已知集合A = { –1 , 3 , 2m – 1 }，集合B = { 3 , 4 }。若B Í A，则实数m =__。
2． 已知两条直线l1：ax + 3y – 3 = 0 , l2：4x + 6y – 1 = 0。若l1‖l2，则a =______。
3． 若函数f(x) = ax（a > 0且a ¹ 1）的反函数的图像过点( 2 , –1 )，则a =_____。
4． 计算： =__________。
5． 若复数z = ( m – 2 ) + ( m + 1 )i为纯虚数（i为虚数单位），其中m Î R，则| | =__________。
6． 函数y = sinxcosx的最小正周期是_____________。
7． 已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是( 3 , 0 )，且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是________。
8． 方程log3( x2 – 10 ) = 1 + log3x的解是_______。
9． 已知实数x , y满足 ，则y – 2x的最大值是______。
10． 在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是__________。（结果用分数表示）
11． 若曲线|y|2 = 2x + 1与直线y = b没有公共点，则b的取值范围是________。
12． 如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O。对于平面上任意一点M，若p , q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对( p , q )是点M的“距离坐标”。根据上述定义，“距离坐标”是( 1 , 2 )的点的个数是________。

二．选择题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13． 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
14． 如果a < 0 , b > 0，那么，下列不等式中正确的是（ ）
(A) (B) (C) a2 < b2 (D) |a| > |b|
15． 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（ ）
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件
16． 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）
(A) 48 (B) 18 (C)24 (D) 36
三．解答题：（本大题共6小题，共86分）
17．（本小题满分12分）
已知a是第一象限的角，且 ，求 的值。
18．（本小题满分12分）
如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1°）？

19．（本小题满分14分）
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ÐABC = 90° , AB = BC = 1。
(1) 求异面直线B1C1与AC所成角的大小；
(2) 若直线A1C与平面ABC所成角为45°，求三棱锥A1-ABC的体积。
20．（本小题满分14分）
设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n×an + Sn = 4096。
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设数列{log2an}的前n项和为Tn，对数列{Tn}，从第几项起Tn < –509？
21．（本小题满分16分）
已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F( , 0 )，且右顶点为D( 2 , 0 )，设点A的坐标是( 1 , )。
(1) 求该椭圆的标准方程；
(2) 若是P椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
(3) 过原点O的直线交椭圆于点B , C，求△ABC面积的最大值。
22．（本小题满分18分）
已知函数 有如下性质：如果常数a > 0，那么该函数在 上是减函数，在 上是增函数。
(1) 如果函数 在 上是减函数，在 上是增函数，求实常数b的值；
(2) 设常数c Î [ 1 , 4 ]，求函数 ( 1 £ x £ 2 )的最大值和最小值；
(3) 当n是正整数时，研究函数 ( c > 0 )的单调性，并说明理由。
上海数学(文史类)参考答案
一、(第1题至笫12题)
1. 4 2. 2 3. 4. 5. 3 6.π 7.
8. 5 9. 0 10. 11.－1二、(第13题至笫16题)
13. C 14. A 15. A 16. D
三、(第17题至笫22题)
17.解： =
由已知可得sin ,
∴原式= .
18.解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.
于是,BC=10 .
∵ , ∴sin∠ACB= ,
∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.
19.解：(1) ∵BC‖B1C1, ∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)
∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°,
∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.
(2) ∵AA1⊥平面ABC,
∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角, ∠ACA =45°.
∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC= ,
∴AA1= .
∴三棱锥A1-ABC的体积V= S△ABC×AA1= .
20.解(1) ∵an+ Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048.
当n≥2时, an= Sn－Sn－1=(4096－an)－(4096－an－1)= an－1－an
∴ = an=2048( )n－1.
(2) ∵log2an=log2[2048( )n－1]=12－n,
∴Tn= (－n2+23n).
由Tn<－509,解待n> ,而n是正整数,于是,n≥46.
∴从第46项起Tn<－509.
21.解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c= ,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为
(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),
由 x= 得 x0=2x－1
y= y0=2y－
由,点P在椭圆上,得 ,
∴线段PA中点M的轨迹方程是 .
(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.
当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入 ,
解得B( , ),C(－ ,－ ),
则 ,又点A到直线BC的距离d= ,
∴△ABC的面积S△ABC=
于是S△ABC=
由 ≥－1,得S△ABC≤ ,其中,当k=－ 时,等号成立.
∴S△ABC的最大值是 .
22.解(1) 由已知得 =4, ∴b=4.
(2) ∵c∈[1,4], ∴ ∈[1,2],
于是,当x= 时, 函数f(x)=x+ 取得最小值2 .
f(1)－f(2)= ,
当1≤c≤2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+ ；
当2≤c≤4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.
(3)设0 当 g(x1), 函数g(x)在[ ,+∞)上是增函数；
当0g(x1), 函数g(x)在(0, ]上是减函数.
当n是奇数时,g(x)是奇函数,
函数g(x) 在(－∞,－ ]上是增函数, 在[－ ,0)上是减函数.
当n是偶数时, g(x)是偶函数,
函数g(x)在(－∞,－ )上是减函数, 在[－ ,0]上是增函数.

2006年上海市普通高等学校春季招生考试
数 学 试 卷
考生注意：
1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.
2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟.
一、填空题（本大题满分48分,本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）
1. 计算: = .
2. 方程log3(2x-1)=1的解x= .
3. 函数f(x)=3x+5,x∈[0,1] 的反函数f (x)= .
4. 不等式 ＞0的解集是 .
5. 已知圆C：(x+5)2+y2=r2（r＞0）和直线l：3x+y+5=0.若圆C与直线l没有公共点，则r的取值范围是 .
6. 己知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数，当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x4,则当x∈(0,+∞)
时，f(x)= .
7. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.
8. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 .
9. 在⊿ABC中，已知BC=8,AC=5,三角形面积为12,则cos2C= .
10. 若向量 、 的夹角为150°,│ │= ,│ │=4,则│2 + │= .
11. 己知直线l过点P（2，1），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为 .
12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分,那么班级的平均分将提高，这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列a1,a2…，an满足a1≤a2≤…≤an ,则
（结论用数学式于表示）.
二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结沦是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分。）
13. 抛物线y2=4x的焦点坐标为 ( )
A. (0,1) B.(1,0) C. (0,2) D. (2,0)
14. 若a、b、c∈R,a>b,则下列下等式成立的是 ( )
A. B. a2>b2 C. D. a│c│>b│c│
15. 若k∈R,,则“k>3”是“方程 表示双曲线”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
16. 若集合A={y│y=x ,-1≤x≤1},B={y│y=2- ,0 A. (-∞, -1] B.[-1,1] C.Φ D. {1}
三、解答题(本大题满分86分，共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。)
17. (本题满分12分)在长方体 中，已知DA=DC=4,DD1=3,求异面直线A1B与B1C所成角的大小(结果用反三角函数表示).

18. (本题满分12分) 已知复数ω满足ω-4=(3-2ω)i(i为虚数单位),z= ,求一个以z为根的实系数一元二次方程.

19. (本题满分14分) 本题共有2小题,第1小题满分8分, 第2小题满分6分.
已知函数f(x)=2sin(x+ )-2cosx,x∈[ , ].
(1) 若sinx= ,求函数f(x)的值;
(2) 求函数f(x)的值域.

20. (本题满分14分) 本题共有2小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.
学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 ＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M(0, )为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D(8,0).观测点A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器．
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

21. (本题满分14分) 本题共有3小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.
设函数f(x)= │x2-4x-5│
(1) 在区间[-2,6]上画出函数f(x)的图像;
(2) 设集合A={x│f(x)≥5},B=(-∞, -2)∪[0,4]∪[6, +∞),试判断集合A和B之间的关系,并给出证明;
(3) 当k>0时,求证:在区间[-1,5]上,y=k(x+3) 的图像位于函数f(x) 图像的上方.

22. (本题满分18分) 本题共有3小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分.
已知数列al，a2…，a30，其中al，a2…，a10是首项为1公差为1的等差数列；
al0，a11…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21…，a30是公差为d2的等差数列(d≠0).
(1)若a20=40，求 d；
(2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围;
(3)续写己知数列，使得a30，a31…，a40是公差为d3的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同(2)类似的问题,((2)应当作为特例),并进行研究，你能得到什么样的结论？

2006年上海市普通高等学校春季招生考试
数 学 试 卷
参考答案及评分标准
一、(第1至12题) 每题填对得4分，否则一律得零分
1. 2. 2 3. (x-5), x∈[5,8] 4. (-1, ) 5. (0, ) 6. -x-x4
7. 48 8. 9. 10. 2 11. 4
12. (1≤m (1≤m二、(第13至16题) 每题填对得4分，否则一律得零分
13. B 14. C 15. A 16. B
三. (第17至22题)
17. [解法一]连接A¬1D
∵A¬1D‖B1C, ∴∠BA1D是异面直线A1B与B1C所成的角 ……4分
连接BD,在△A¬1DB中,AB=A¬1D=5,BD=4 ……6分
cos∠BA1D=
= = ……10分
∴异面直线A1B与B1C所成角的大小为arccos ……12分
[解法二]以D为坐标原点,DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系. ……2分
则A1(4,0,3) 、B(4,4,0) 、B1(4,4,3) 、C(0,4,0),
得 =(0,4,-3), =( -4,0,-3) ……6分
设 与 的夹角为θ,
cosθ= = ……10分
∴异面直线A1B与B1C所成角的大小为arccos ……12分
18. [解法一]∵ω(1+2i)=4+3i, ∴ω= =2-i ……4分
∴z= +│-i│=3+i ……8分
若实系数一元二次方程有虚根z=3+I,则必有共轭虚根 =3-i.
∵ z+ =6, z =10
∴所求的一元二次方程可以是x2-6x+10=0 ……12分
[解法二]设ω=a+bi(a、b∈R)
a+bi-4=3i-2ai+2b
得 a-4=2b a=2
b=3-2a ∴ b=-1 ∴ω=2-i, ……4分
以下解法同[解法一]
19. [解](1) ∵sinx= , x∈[ , ],∴cosx=- ……2分
f(x)=2( sinx+ cosx)-2cosx
= sinx-cosx= + ……8分
(2) f(x)= 2sin(x- ) ……10分
∵ ≤x≤ , ∴ ,
≤sin(x- )≤1 ……14分
∴函数f(x)的值域[1,2]
20. [解](1)设曲线方程为y=ax2+ ,
由题意可知,0=a•64+ , ∴a=- ……4分
∴曲线方程为y=- x2+ . ……6分
(2)设变轨点为C(x,y),根据题意可知
＝1 (1)
y=- x2+ (2) 得4y2-7y-36=0,
y=4或y=- (不合题意,舍去) ∴y=4 ……9分
得x=6 或x=-6(不合题意,舍去).
∴C点的坐标为(6,4), ……11分
,
答: 当观测点A、B测得AC、BC距离分别为2 、4时，应向航天器发出变轨指令
……14分
21. [解](1)

……4分
(2)方程f(x)=5的解分别是2- ,0, 2+ ,由于f(x)在(-∞, -1]和[2,5]上单调递减,在[-1,2]和[5,+ ∞)上单调递增,因此
A=(-∞, 2- ]∪[0,4]∪[2+ + ∞). ……8分
由于2+ <6, 2- >-2, ∴B A ……10分
(3) [解法一]当x∈[-2,5]时,f(x)=-x2+4x+5,
G(x)=k(x+3)-(-x2+4x+5)=x+(k-4)x+(3k-5)
=(x- )2- ……12分
∵k>2, ∴ <1,又-1≤x≤5,
① 当-1≤ <1,即2g(x)mix= =- [(k-10)2-64].
∵16≤(k-10)2<64 ∴(k-10)2-64<0
则g(x)mix>0 ……14分
②当 <-1,即k>6时,取x=-1,
g(x)mix=2k>0.
由①②可知,当k>2时,g(x)>0, x∈[-1,5].
因此,在区间[-1,5]上,y=k(x+3) 的图像位于函数f(x) 图像的上方. ……16分
[解法二]当x∈[-1,5]时, f(x)=-x2+4x+5.
由 y=k(x+3)
f(x)=-x2+4x+5 得x+(k-4)x+(3k-5)=0.
令△=(k-4)2-4(3k-5)=0,解得 k=2或k=18, ……12分
在区间[-1,5]上,当k=2时, y=2(x+3) 的图像与函数f(x) 的图像只交于一点(1,8);
当k=18时, y=18(x+3) 的图像与函数f(x) 的图像没有交点. ……14分
如图可知,由于直线y=k(x+3)过点(-3,0), 当k>2时, 直线y=k(x+3)是由直线y=2(x+3)绕点(-3,0)逆时针方向旋转得到. 因此,在区间[-1,5]上,y=k(x+3) 的图像位于函数f(x) 图像的上方. ……16分
22. [解](1) al0=10, a20=10+10d=40, ∴d=3 ……4分
(2) a30= a20+10d=10(1+d+d2) (d≠0) ……8分
a30=10[(d+ )2+ ],
当d∈(-∞, 0)∪(0, +∞)时, a30∈[ ,+∞). ……12分
(3) 所给数列可推广为无穷数列{ an},其中al，a2…，a10是首项为1公差为1的等差数列,
当n≥1时, 数列a10n，a10n+1,…，a10(n+1)是公差为dn的等差数列. ……14分
研究的问题可以是:试写出a10(n+1)关于d的关系式,并求a10(n+1)的取值范围 ……16分
研究的结论可以是: 由a40= a30+10d3=10(1+d+d2+ d3),
依次类推可得 a10(n+1)= 10(1+d+d2+…+ dn)= 10• (d≠1),
10(n+1) (d=1)
当d>0时, a10(n+1)的取值范围为(10, +∞)等 ……18分

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