设斜率为1的直线l与椭圆C:x^2⼀4+y^2⼀2=1相交于不同的两点A,B,则使AB为整数的直线l

很多符号打不出来，你只能耐心地看。
设A =（x1，y1）B（x2，y2），由题意，我们可以可以得到两条方程，x^2/4+y^2/2=1以及y=x+b，将y=x+b代入椭圆方程，联立化简得到一个二元一次方程：3x^2+4bx+2b^2-4=0.
根据韦达定理可知，x1+x2= -（4b）/3，x1x2=（2b^2-4）/3，
AB=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+b）*（x2+b）=2x1x2+b（x1+x2）+b^2
将已知的x1和x2的和以及x1与x2的积代入AB的式子中去可以得到
AB=（3b^2-8）/3，令AB=k（k为整数），即可得到b^2=k+8/3
由上面可知，直线与椭圆方程有两个交点，则意味着二元一次方程：3x^2+4bx+2b^2-4=0有两个解，则判别式应该>0,由判别式>0可以解出0k求出来，代入b^2=k+8/3，就可以把b求出来了，b有八个值，故有八条满足题意的直线。

设直线方程为y=x+b，代入椭圆方程得，3x^2+4bx+2b^2-4=0 ①
设A、B的坐标分别为（X1，Y1)，(X2，Y2)，|AB|=n
由题意知，(4b)^2-4×3×(2b^2-4)>0，解得，b^2<6 ∴0≤b^2<6 ②
由 ①得，X1+X2=-4b/3，X1X2=(2b^2-4)/3
∴n=√(k^2+1)|X1-X2|=√2|X1-X2|=√2[(X1+X2)^2-4X1X2]=√[16(6-b^2)/9]
∴b^2=(96-9n^2)/16 ③
∴由②及③得，0≤96-9n^2<96
解得，0由题意知，n为不等于0的正整数，
∴由④解得，n=1、2、3，
∵对于每一个n可解得两个b值，共可解出6个b值
∴使AB为整数的直线l共有6条。