(1+x)^(1/x)
=e^ln[(1+x)^(1/x)]
=e^[(1/x)*ln(1+x)]
=e^[(1/x)*(x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+o(x^4))]
=e^[1-x/2+x^2/3-x^3/4+o(x^3)]
详细过程是，∵x→0时，ln(1+x)=x-x²/2+x³/3+O(x³)，e^x=1+x+x²/2+O(x²)，
∴(1+x)^(1/x)=e^[(1/x)ln(1+x)]=e^[(1/x)(x-x²/2+x³/3+O(x³))]=e^[1-x/2+x²/3+O(x²))]=e*e^[-x/2+x²/3+O(x²))]。
令t=-x/2+x²/3+O(x²)，∴e^t=1+t+t²/2+O(t²)=1+[-x/2+x²/3+O(x²)]+[-x/2+x²/3+O(x²)]²/2+O(t²)=1-x/2+11x²/24+O(x²)。
∴(1+x)^(1/x)=[1-x/2+11x²/24+O(x²)]e。
供参考。
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