均值不等式的证明

2024-12-19 22:26:15

推荐回答（1个）

回答1：

关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：
（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。）
用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设A≥0，B≥0，则，且仅当B=0时取等号。
注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）。
原题等价于：, 当且仅当时取等号。
当n=2时易证；
假设当n=k时命题成立，即, 当且仅当时取等号。那么当n=k+1时，不妨设是、......中最大者，则
设，
，根据引理
，当且仅当且时，即时取等号。
利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同时还有柯西归纳法等等方法。