圆环转动惯量M*（R^2+r^2)⼀2 推导

2024-12-29 19:18:31

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回答1：

转动惯量定义式:mr^2
圆环,半径不恒定(由内径r变化到外径R),不妨设为x,
在距离圆心x的位置的质量m
=
M*2πx/π(R^2-r^2)=
2Mx/(R^2-r^2)
PS:π(R^2-r^2)是圆环面积。
所以转动惯量为:
∫mx^2
dx
(x从r到R)
=∫2Mx/(R^2-r^2)x^2
dx
=2M/(R^2-r^2)∫x^3
dx
(1)
=2M/(R^2-r^2)
*
(R^4-r^4)/4
(2)
=M*（R^2+r^2)/2
PS：(1)
∫x^3
dx
=
x^4/4
(2)
R^4-r^4
=
(R^2+r^2)(R^2-r^2)

回答2：

转动惯量i=m*r^2是针对质点说的，对圆盘类的转轴过圆心的物体i=(m*r^2)/2，对于杆类转轴过中心的i=(m*r^2)/12，对于球体转轴过中心的
i=(2/5*(m*r^2)；
这是几个常用的
很好推
圆盘的用环积分就行
杆用点积分就行
球用圆柱法积分就行