已知0<α<π⼀2,tanα⼀2+1⼀tanα⼀2=5⼀2,试求sin(α-π⼀3）的值

解：∵0<α<π/2
∴0<α/2<π/4 ==>0 ∵tan(α/2)+1/tan(α/2)=5/2
==>tan²(α/2)+1=(5/2)tan(α/2)
==>2tan²(α/2)-5tan(α/2)+2=0
==>[2tan(α/2)-1][tan(α/2)-2]=0
∴2tan(α/2)-1=0，或tan(α/2)-2=0
∴tan(α/2)=1/2，或tan(α/2)=2（不符合条件(1)式，舍去）
∴tan(α/2)=1/2
==>tanα=2tan(α/2)/[1-tan(α/2)²]=2*(1/2)/[1-(1/2)²]=4/3
==>sinα/cosα=4/3
==>cosα=3sinα/4
==>sin²α+(3sinα/4)²=1 (代入sin²α+cos²α=1)
==>25sin²α/16=1
==>sinα=4/5，cosα=3/5..........(2)
故sin(α-π/3)=sinαcos(π/3)-cosαsin(π/3)
=(4/5)(1/2)-(3/5)(√3/2)
=(4-√3)/10。

由tanα/2+1/tanα/2=5/2，可解得tanα/2=2或tanα/2=1/2。
由于0<α<π/2，则0<α/2<π/4，易知0由倍角公式算出tanα=4/3，进而求出sinα=4/5，cosα=3/5
而sin(α-π/3）=sinαcosπ/3-cosαsinπ/3，
代入求得(4-3根号3)/10。