（1）∵f（x）是二次函数，且f（x）＜0的解集是（0，5），∴可设f（x）=ax（x-5）（a＞0）．
∴f（x）在区间[-1，4]上的最大值是f（-1）=6a．
由已知得6a=12，∴a=2，∴f（x）=2x（x-5）=2x2-10x（x∈R）．
（2）方程f(x)+
＝0等价于方程 2x3-10x2+37=0．37 x
设h（x）=2x3-10x2+37，则h'（x）=6x2-20x=2x（3x-10）．
在区间x∈(0，
)时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；10 3
在区间（-∞，0），或(
，+∞)上，h'（x）＞0，h（x）是增函数，故h（0）是极大值，h（10 3
）是极小值．10 3
∵h(3)＝1＞0，h(
)＝?10 3
＜0，h(4)＝5＞0，1 27
∴方程h（x）=0在区间(3，
)，(10 3
，4)内分别有惟一实数根，故函数h（x）在（3，4）内有2个零点．10 3
而在区间（0，3），（4，+∞）内没有零点，在（-∞，0）上有唯一的零点．
画出函数h（x）的单调性和零点情况的简图，如图所示．
所以存在惟一的自然数m=3，使得方程f(x)+
＝0在区间（m，m+1）内有且只有两个不同的实数根．37 x
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