【难题巧解点拨】
例1：根据下列要求分别写出相应的函数关系式：
（1）y与x成正比例，其图象过点 ；
（2）函数y=kx－（2k+1）的图象过原点；
（3）一次函数y=kx+b，当x=5时，y=－2；当x=2时，y=1；
（4）y与x－1成正比例，且当x=－5时，y=3．
解：（1）根据题意设y=kx，则 ，
解得 ．
（根据函数类型设出函数表达式，只需确定表达式中的字母即可）
∴所求函数的关系式为 ．
（2）由函数图象过原点，得k•0－（2k+1）=0，
解得 ．
（函数图象过某一点，则该点的坐标符合函数表达式）
∴所求函数的关系式为 ．
（3）根据题意得
（可以把两式相减消去b，解出k后，再求出b）
解得k=－1，b=3．
∴所求函数的关系式为y=－x+3．
（4）设y=k（x－1），根据题意得k（－5－1）=3，
（注意函数的设法）
解得 ．
（这个函数是正比例函数吗？）
∴所求函数的关系式为 ．
例2：根据函数图象（如图6－8），求出相应的函数关系式．
解：由图象经过原点，且为直线，可判断它是正比例函数．
设所求函数为y=kx，由直线经过点（－2，1），
得1=－2k，
解得 ．
∴所求函数的关系式为 ．
例3：已知一次函数的图象经过点（－2，1），（3， ），求这个一次函数的表达式．
解：根据题意设这个一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0），
根据题意，得
（求函数表达式一般用待定系数法，先设出函数的一般式，再根据条件求出待定系数，将待定系数的值代入一般式中即得函数表达式）
解得
∴这个一定函数的表达式为 ．
例4：若正比例函数 中，y随x的增大而减小，求这个正比例函数．
解：∵这个函数是正比例函数，
，∴m=±1．（别漏掉了－1）
又∵y随x的增大而减小，
∴2m－1<0， ．
∴m=－1． （要综合考虑题目条件，检验每一个解的合理性）
∴这个正比例函数是y=－3x．
例5：求直线y=2x+3和y=－3x+8与x轴围成的三角形面积．
解：设直线y=2x+3与x轴的交点为 ，
直线y=－3x+8与x轴的交点为 ，
直线y=2x+3与直线y=－3x+8交点为C（x，y）．
根据题意得 ，
，
（两条已知直线与x轴围成的是一边在x轴上的三角形，因此，求出这个三角形的三个顶点坐标，就可以求面积）
（两条直线的交点坐标同时满足这两个函数关系式，转化成为求二元一次方程组的解）
∴点A坐标为（ ，0），点B坐标为（ ，0），点C坐标为（1，5）．
过C作CD⊥x轴于D，则CD=5．
（如何求三角形的面积？为什么要作这样的辅助线？）
答：所求三角形的面积为 ．
例6：（2001年辽宁省中考题）我省是水资源比较贫乏的省份之一，为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6立方米时，水费按每立方米a元收费；超过6立方米时，不超过的部分每立方米仍按a元收费，超过的部分每立方米按c元收费．该市某户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示：
月份 用水量（立方米） 水费
3 5 7．5
4 9 27
设某户每月用水量为x（立方米），应缴水费y（元）．
（1）求a、c的值，并写出用水不超过6立方米和超过6立方米时，y和x之间的函数关系式；
（2）若该户5月份的用水量为8立方米，求该户5月份的水费是多少元？
（若每户每月用水不超过6立方米时，y是x的正比例函数，若超过6立方米时，y是x的一次函数）
解：（1）根据题意，得
当x≤6时，y=ax，
当x>6时，y=6a+c（x－6）
（易误写成y=6a+cx）
由已知，得
解得：
∴用水不超过6立方米时，y和x的函数关系式为y=1.5x（1≤x≤6）；
用水超过6立方米时，y和x的函数关系式为y=9+6（x－6）=6x－27（x>6），
即y=6x－27（x>6）．
（2）当x=8时，
y=6x－27=6×8－27=21（元）．
（求x=8时的函数值应代入函数式y=6x－27（x>6）中）
答：该户5月份的水费是21元．
【典型热点考题】
例1 已知y+b与x+a(其中a、b是常数)成正比．
(1)求证：y是x的一次函数；
(2)若x=3时，y=5；x=2时，y=2，求函数的表达式．
点悟：(1)由正比例函数关系入手，化为一次函数形式，依定义进行判定；(2)想办法确定一次函数表达式中各常数的值．
解：(1)∵ y+b与x+a成正比例，
∴ y+b=k(x+a)(k为常数，k≠0)，整理，得 y=kx+(ka－b)．
∵ k，a，b均为常数，且k≠0，
∴ y是x的一次函数．
(2)∵ 当x=3时，y=5；当x=2时，y=2．
∴
故此函数的表达式为．y=3x－4．
点拨：解此类题要用整体观点，即把y+b、x+a及ka－b分别看成整体．
例2 判断三点A(1，3)、B(－2，0)、C(2，4)是否在同一条直线上，为什么?
点悟：三点共线的判定方法是：先任取两点，求出这两点所在直线的解析式，然后验证第三点是否满足所求出的解析式，如果满足，则三点共线；如不满足，则三点不共线．
解：设过A(1，3)、B(－2，0)两点的直线的解析式为y=kx+b．
则 ；
∴ 过A、B两点的直线的解析式：y=x+2．
将点C(2，4)代入y=x+2检验：
∵ 当x=2时，y=2+2=4．
∴ C(2，4)满足y=x+2．
∴ 点C也在直线y=x+2上．
故A、B、C三点在同一条直线上．
点拨：直线的函数解析式均可设为y=kx+b．
例3 已知一次函数y=kx+b中自变量x的取值范围是－2≤x≤6，相应的函数值范围是－11≤y≤9，求此函数的解析式．
解：当k>0时，∵y随x的增大而增大，
∴ 由－2≤x≤6 得：6k+b≤kx+b≤－2k+b，
即：－2k+b≤y≤6k+b．
又∵ －11
∴ 此函数的解析式为 ．
当k<0时，∵y随x的增大而减小．
∴ 由－2≤x≤6得6k+b≤kx+b≤－2k+b，
即 6k+b≤y≤－2k+b．
又∴ －11≤y≤9，比较可得：
解得
∴ 此函数的解析式 ．
故本题有两个解．
例4 如图6－9，已知一次函数y=mx+4具有性质：y随x的增大而减小．又直线y=mx+4分别与直线x=1、x=4相交于点A、D，且点A在第一象限内，直线x=1、x=4分别与x轴相交于B、C．
(1)要使四边形ABCD为凸四边形，试求m的取值范围；
(2)已知四边形ABCD为凸四边形，直线y=mx+4与x轴相交于点E，当 时，求这个一次函数的解析式；
(3)在(2)的条件下，设直线y=mx+4与y轴相交于点F．求证：点D是△EOF的外心．
点悟：(1)由已知一次函数y=mx+4的值随x的增大而减小，说明m<0，直线y=mx+4呈下降趋势．由图象与直线x=1的交点A在第一象限内可知，要使四边形ABCD是凸四边形，交点D应在第一象限，因此点D的纵坐标大于0．解不等式即可求出m的取值范围．(2)由平行线的对应线段成比例的性质，可得关于m的方程，解方程即可．(3)△EOF是Rt△，只要证明点D为斜边EF的中点即可．
解：(1)∵ y随x的增大而减小，
∴ m<0．
∵ 直线y=mx+4分别与直线x=1，x=4相交于A、D．
∴由
解得 A(1，m+4)，D(4，4m+4)．
∵ 点A在第一象限内，
∴ m+4>0，即m>－4．
又∵ 四边形ABCD为凸四边形，
∴ 4m+4>0，即m>－1．
综上所解m值，得m的取值范围是－1
∴ m+4>0，4m+4>0，
∴ AB=m+4，CD=4m+4．
又∵ AB、CD都垂直于x轴，
∴ AB‖CD．
∴ ，
∴ ，
解得 。
∴ 此一次函数的解析式为 ．
(3)由 可得此直线与x轴、y轴的交点坐标分别为E(8，0)，F(0，4)．
∵ 点C(4，0)，∴ OC=4．
∵ CE=OE=OC=8－4=4，
∴ OC=EC，即C是OE的中点．
又∵ 在Rt△EOF中，DC‖OF，
∴ CD是Rt△EOF的中位线，
∴ D是EF的中点．
因此点D是Rt△EOF的外心．
点拨：本题是函数与几何知识的综合题，解这类题的关键是运用数形结合思想，借助图形，紧紧抓住几何图形的性质，以几何推理为基础，寻找相关量之间的关系，从而达到求解的目的．
例5 已知：如图6－10，直线PA是一次函数y=x+n(n>0)的图象，直线PB是一次函
数y=－2x+m(m>n)的图象．
(1)用m、n表示A、B、P的坐标；
(2)若点Q是PA与y轴的交点，且四边形PQOB的面积是 ，AB=2，试求点P的坐标，
并写出直线PA与PB的表达式．
点悟：(1)把y=0代入y=x+n，即可求得A点坐标，同法再求点B的坐标；(2)由面积和AB=2，求m、n的值即可．
解：(1)∵ 点A是直线y=x+n上的点，且在x轴上．
∴ 把y=O代入y=x+n，得x=－n，
∴ 点A的坐标为(－n，0)，
同理可求出点B的坐标为( ，0)．
因为点P是直线y=x+n与直线y=－2x+m的交点，所以点P的坐标是方程组
的解 为
∴ 点P的坐标是 ．
(2)如图，连结PO，则有
，
。
由已知 ，及AB=AO+OB=2，
得 ．
整理，得
②代入①，整理，得 ，解得n=±1．
∵ n>O，∴ 只能取n=1．
把n=1代入②，得 m=2．
∴ m=2，n=1．
把m=2，n=1代入①中求得的 ，得点P的坐标为 ．
把m=2，n=1分别代入y=x+n，y=－2x+m中，得PA、PB的表达式分别为
y=x+1和y=－2x+2．
点拨：(1)是应用了坐标轴上的点的坐标的特点；(2)是利用割补法求面积，基本思想是全面积等于各部分面积之和．割补的原则一般是：尽可能地使分割出的三角形的边有一条在坐标轴上．因为这样的三角形面积比较容易计算．
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