设f(x)=xlnx
f'(x)=lnx+1
f''(x)=1/x
因为a,b,c>0
所以当x>0时f''(x)>0
则f(x)为凹函数
则有[f(a)+f(b)+f(c)]/3 > f[(a+b+c)/3]
f(a)+f(b)+f(c)=alna+blnb+clnc
=ln(a^a)+ln(b^b)+ln(c^c)
=ln[(a^a)(b^b)(c^c)]
=右式
f[(a+b+c)/3]=[(a+b+c)/3]ln[(a+b+c)/3]
所以f(a)+f(b)+f(c)>(a+b+c)ln[(a+b+c)/3]
根据(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3)
有(a+b+c)ln[(a+b+c)/3]≥(a+b+c) ln[³√(abc)]
=[(a+b+c)/3] ln(abc)
其中
①a+b≥2√ab
②b+c≥2√bc
③a+c≥2√ac
①+②+③得
2(a+b+c)≥2abc
即a+b+c≥abc
所以[(a+b+c)/3] ln(abc)≥(abc/3) ln(abc)
=ln[(abc)^(abc/3)]
=右式
其中用到均值不等式
只有当a=b=c时，取等号
得证
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