父母与17岁犯罪儿子断绝关系后承担他犯下的刑事责任么

父母不承担刑事责任，但要承担由此造成的民事责任。

第三十二条 无民事行为能力人、限制民事行为能力人造成他人损害的，由监护人承担侵权责任。监护人尽到监护责任的，可以减轻其侵权责任。
有财产的无民事行为能力人、限制民事行为能力人造成他人损害的，从本人财产中支付赔偿费用。不足部分，由监护人赔偿。

首先，法律上不承认这种断绝关系，义务仍需承担，其次，就这件事来说，你儿子已经满16周岁，完全自己承担刑事责任，死刑的除外，父母不需要承担刑事责任，另外父母需要承担的是民事责任。

公民只对他个人的行为承担刑事责任，不管他是否成年，即使是父子关系也没有老子替儿子承担刑事责任的道理。只不过如果犯罪附带有民事赔偿的话，未成年人的监护可能要有因监护义务不到位而引起的民事赔偿责任罢了。
另外你还犯了一个常识性的错误：基于血缘产生的父子关系（血亲关系）是没法解除的，只有姻亲关系、养父子关系等才可以解除

如果儿子自小被过继出去，也就是被他人合法收养。儿子犯下的罪行自然与原来的亲生父母无关，因为亲生父母不是监护人。如果父母是监护人，即使想断绝关系也是不行的。您问的刑事责任是指罚金吧？未成年人的罚金刑也只能由监护人来承担了。

首先，“断绝父子、母子关系”的说法在法律上站不住脚，不被法律承认。
其次，刑事责任完全有他自己承担。
最后，儿子的犯罪行为很可能在民法上造成侵权，如果你儿子年满16周岁并且能够养活自己，民事责任由他自己承担，如果不是这个情况，他作为未成年人则民事责任由监护人（父母）承担。