全等图形的概念？

2025-03-24 15:32:02

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回答1：

图形的全等 -------------------------------------------------------------------------------- 一、一周知识概述了解全等形、全等三角形的概念及表示方法，掌握寻找全等三角形中的对应元素的基本方法，初步会用全等三角形的性质进行一些边角的简单的计算． 1．全等三角形的定义及有关概念和性质． (1)全等三角形是能够完全重合的两个三角形或形状相同、大小相等的两个三角形．形状相同但不能完全重合的两个三角形不是全等三角形。 (2)全等三角形对应元素及性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． (3）将两个全等三角形中的一个三角形平移、翻折、旋转可得到另一个三角形． 2．全等三角形的符号表示及读法和写法．全等三角形用符号“≌”表示，表示全等，读作“全等于”，注意对应顶点写在对应位置上．将两个三角形的顶点同时按1→2→3→1的顺序轮换，可写出所有对应边和对应角相等的式子，而不会找错，并节省观察图形的时间．如图，∵△ABC≌△DFE，(已知) ∴AB=DF，AC=DE，BC=FE，(全等三角形的对应边相等) ∠A=∠D，∠B=∠F，∠C=∠E．(全等三角形的对应角相等) 二、重点和难点重点：全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等．难点：寻找全等三角形的对应元素常用的寻找全等三角形对应元素的方法．已知如图中的(a)，△ABC≌△DEF，则对应边和对应角相等。 AB=DE，AC=DF，BC=EF．∠A=∠EDF，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE。有公共边的，公共边一定是对应边，如图中的(b)，(e)，(g)；有公共角的，公共角一定是对应角，如图中的(f)．有对顶角的，对顶角一定是对应角，如图中的(d)，(f)，(g)．练习1：已知如图中的(c)，△ABC≌ADE， AB=AD，∠1=∠2，AC=AE．写出其余对应元素相等的式子．练习2：已知：如图中的(h)，△AEB≌△DFC，∠1=∠2，BE=CF，∠B=∠C，写出其余对应元素相等的式子．找对应边、对应角通常有以下几种方法．（1）全等三角形对应相等的角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．（2）全等三角形对应相等的边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．（3）两个全等三角形有公共边的，公共边一定是对应边．（4）两个全等三角形有公共角的，公共角一定是对应角．（5）两个全等三角形有对顶角的，对顶角一定是对应角．（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）．如图，复杂的几何图形，实际上常常可以看作简单图形的组合，我们要把简单图形从复杂图形中分离出来，确定对应的概念，加深对概念的理解，把复杂的几何问题转化成简单问题，这就是数学中的转化思想的体现. 三、典型例题分析例1、几何中，我们把上述所例举的“一模一样”的图形叫做“全等形”，以下是描述全等形的三种不同的说法，你认为哪种说法是恰当的？（l）形状相同的两个图形叫全等形。（2）大小相等的两个图形叫全等形。（3）能够完全重合的两个图形叫全等形。答：全等形要满足两个基本条件：两个图形的形状完全相同和大小完全相同，所以（3）正确。例2、如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，△ABE≌△ACD，∠C= 20°，AB=10，AD= 4， G为AB延长线上一点．求∠EBG的度数和CE的长．分析： (1)图中可分解出四组基本图形：有公共角的Rt△ACD和Rt△ABE；△CEF≌△BDF，△ABE的外角∠EBG或∠ABE的邻补角∠EBG． (2)利用全等三角形的对应角相等性质及外角或邻补角的知识，求得∠EBG等于160°． (3)利用全等三角形对应边相等的性质及等量减等量差相等的关系可得：CE=CA－AE=BA－AD=6．点评：全等形中对应的局部相等，所以全等三角形的对应角和对应边分别相等．要证角相等或线段相等，只需它们分别是全等三角形的对应角或对应边，判断全等三角形角的对应关系的关键是判定三角形顶点的对应关系．这是今后证明类似问题的重要思路．寻找全等三角形的对应关系，首先要根据已知的相等关系（或对应关系）确定对应顶点．通过观察图形，可以把其中一个图形经过平移、旋转、翻折后和另一个图形重合．于是又可以由观察直接判断对应关系．上面例子左图可由先旋转再平移而重合，右图可由先平移再翻折而重合．直角三角形全等的条件：一直角边的角平分线交汇另一直角边形成一个小直角三角形,在这对小的直角三角形中,一直角边和斜边相等,所以这小的直角三角形全等(斜边直角边定理),所以被平分的角也相等. 被平分的角相等,同样这平分的大角也相等,这样在两个大直角三角形中,一直角边相等,一对应的角又相等,那么这两个大直角三角形也同样全等. 斜边与其中一条直角边对应相等，称为“斜边、直角边”，简写为HL。这样的直角三角形也全等。

回答2：

1．全等三角形的定义、性质
（一）全等三角形的定义，表示方法及对应元素的确定
定义：
1．全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．
2．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
表示方法：
△abc≌△a′b′c′
两个全等三角形重合到一起引出：
“对应”概念：对应顶点：重合的顶点叫对应顶点，如a，a′;b，b′;c，c′．
对应边：重合的边叫对应边，ab，a′b′；bc，b′c′；ca，c′a′．
对应角：重合的角叫对应角，∠a，∠a′;∠b，∠b′;∠c，∠c′．
表示两个三角形全等要求：把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
（二）确定对应元素的规律：
由重合情况或一些元素对应相等
对应顶点
对应边、对应角；如：以对应顶点为顶点的角是对应角，以两个对应顶点为端点的边是对应边．
由元素特征及联系（边角互称）来确定．
如：两个全等三角形的最大边一定是对应边，最大角一定是对应角．
又如：两对应边的夹角是对应角，对应角的对边是对应边……
另外：公共角、公共边、对顶角等都可帮助确定对应关系．
（三）全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等．
全等三角形的对应角相等．
解释：这一性质是由全等三角形的定义得出的由线段相等定义，角相等的定义可知能够重合的两条线段是相等的线段，能够重合的两个角是相等的角，所以可以推出上述性质．
书写范例：
已知：△abc≌△def
可作如下推理：∵△abc≌△def（已知）
∴ab=de（bc=ef，ac=df）(全等三角形对应边相等)
∴∠a=∠d（∠b=∠e，∠c=∠f）（全等三角形对应角相等）
2．三角形全等的条件
（一）判定两个三角形全等需要几个条件？
按定义去判定需要将两个三角形重合看能否完全重合，显然不适用，两个三角形全等则对应边相等，对应角相等，共六个相等结论，那么反过来三条边对应相等，三个角对应相等，两个三角形一定全等，因为它们可以完全重合．
探究问题：
如果两个三角形有一部分对应边相等或对应角相等能否判定两个三角形全等呢？如果可以，最少需要几个条件呢？
（二）边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等（简写为边边边或sss）

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