急求：已知实数x、y满足x+y=4，求x^2+y^2 的最小值。用数形结合法一题多解

1.看作直线x+y=4上的点到原点距离平方最小
就是原点到直线x+y=4的距离平方
也就是8

2.构造向量a=(x,y),b=(1,1)
则向量a的模*向量b的模>=向量a点乘向量b
得到√2(x^2+y^2)>=4
所以x^2+y^2>=8

3.x^2+y^2=x^2+(4-x)^2
=2(x^2-4x+8)=2(x-2)^2+8>=8
这由二次函数图像可知

4.换元令x=4cos^2z,y=4sin^2z
则x^2+y^2=16(cos^4z+sin^4z)
=16((cos^2z+sin^2z)^2-2sin^2zcos^2z)
=16(1-2(sinzcosz)^2)
=16(1-1/2*sin^2(2z))
>=16(1-1/2)=8
这是由于三角函数有界性，sin2z<=1

5.x^2+y^2=(x+y)^2-2xy
=16-2xy>=16-2[(x+y)/2]^2=8
这是由于基本不等式x+y>=2√xy

先画出直线x+y=4图像，
则x²+y²最小值就是过原点做直线的垂线，这个垂线长的平方。
直线x+y=4斜率为-1，所以垂线的斜率为1，且过原点，则垂线方程为y=x
解两个方程得到垂点坐标（2,2）
即当x=y=2时取最小值，为8