230问答网 > 设f(x)有界且二阶可导，证明存在一点t使得f✀✀(t)=0。

设f(x)有界且二阶可导，证明存在一点t使得f✀✀(t)=0。

2025-01-05 01:03:10

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回答1：

这个函数应该是定义在R上的。

只需证明：如果f''(x)恒不等于0，则f(x)无界。

f'是连续可导函数。f''(x)恒不等于0，所以f'是单调函数。（否则，f'存在局部极值，而在局部极值点的导数 f''=0）. 不妨设f'为单增函数，（否则，考虑-f）. 存在 x0 使得 f'(x0) 不等于0，
1. 如果 f'(x0)=a>0, 则对 x>x0, f'(x)>a, f(x)=f(x0)+f'(t)(x-x0)>f(0)+a(x-x0) -----> 无穷大，当x--->无穷大时。
2. 如果 f'(x0)=a<0, 则对 xf(0)+a(x-x0) -----> 无穷大，当x---> 负无穷大时。

即：如果f''(x)恒不等于0，则f(x)无界。
所以f(x)有界且二阶可导，则存在一点t使得f''(t)=0。