根据数列极限的定义证明:

根据数列极限的定义证明:第一题的第三小问

2024-12-30 05:46:03

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回答1：

用极限定义证明：n→∞lim√[1+(4/n²)]=1;
证明：不论预先给定的正数ξ怎么小，由
∣√[1+(4/n²)]-1∣=∣[√(n²+4)]/n-1∣=∣[√(n²+4)]-n∣/n>∣√(n-1)²-n∣/n=∣n-1-n∣/n=1/n；
可知：只要 1/n<ξ，即n>1/ξ成立，∣√[1+(4/n²)]-1∣<ξ就能成立；
也就是说存在正数M=[1/ξ]，当n≧M时就恒有∣√[1+(4/n²)]-1∣<ξ成立，故证。
举例：取ξ=0.1，那么M=1/0.1=10，再取n=10=M，则∣√(1+4/100)-1∣=(√1.004)-1
=1.001998-1=0.001998<0.1；

回答2：

首先，要搞清楚数列极限的定义: 设 {Xn} 为实数数列，a 为定数．若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣Xn-a∣<ε 则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限。证明的关键，就是找到这个N