一道初三数学题，有关于动点问题

动点问题
题型方法归纳
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）
动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、
相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或
其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、三角形边上动点
1、（2009年齐齐哈尔市）直线 与坐标轴分别交于 两点，动点 同时从 点出发，同时到达 点，运动停止．点 沿线段 运动，速度为每秒1个单位长度，点 沿路线 → → 运动．
（1）直接写出 两点的坐标；
（2）设点 的运动时间为 秒， 的面积为 ，求出 与 之间的函数关系式；
（3）当 时，求出点 的坐标，并直接写出以点 为顶点的平行四边形的第四个顶点 的坐标．

提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类；
第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、（2009年衡阳市）

如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，
∠ABC=60º．
（1）求⊙O的直径；
（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；
（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为 ，连结EF，当 为何值时，△BEF为直角三角形．
注意：第（3）问按直角位置分类讨论

3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线 经过点 ，抛物线的顶点为 ，过 作射线 ．过顶点 平行于 轴的直线交射线 于点 ， 在 轴正半轴上，连结 ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点 从点 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线 运动，设点 运动的时间为 ．问当 为何值时，四边形 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若 ，动点 和动点 分别从点 和点 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿 和 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为 ，连接 ，当 为何值时，四边形 的面积最小？并求出最小值及此时 的长．

注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°
当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。

二、 特殊四边形边上动点
4、（2009年吉林省）如图所示，菱形 的边长为6厘米， ．从初始时刻开始，点 、 同时从 点出发，点 以1厘米/秒的速度沿 的方向运动，点 以2厘米/秒的速度沿 的方向运动，当点 运动到 点时， 、 两点同时停止运动，设 、 运动的时间为 秒时， 与 重叠部分的面积为 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为 的三角形），解答下列问题：
（1）点 、 从出发到相遇所用时间是 秒；
（2）点 、 从开始运动到停止的过程中，当 是等边三角形时 的值是 秒；
（3）求 与 之间的函数关系式．

提示：第(3)问按点Q到拐点时间B、C所有时间分段分类 ； 提醒----- 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。

5、（2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（ ，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（ ），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

注意：第（2）问按点P到拐点B所用时间分段分类；
第（3）问发现∠MBC=90°，∠BCO与∠ABM互余，画出点P运动过程中，
∠MPB=∠ABM的两种情况，求出t值。
利用OB⊥AC,再求OP与AC夹角正切值.

6、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点A( ，0)，B(3 ，2)，C（0，2)．动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF上AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为t秒．
(1)求∠ABC的度数；
(2)当t为何值时，AB‖DF；
(3)设四边形AEFD的面积为S．
①求S关于t的函数关系式；
②若一抛物线y=x2+mx经过动点E，当S<2 时，求m的取值范围(写出答案即可)．

注意：发现特殊性，DE‖OA

7、（07黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且
∠AOC=60°，点B的坐标是 ，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设 秒后，直线PQ交OB于点D.
（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（3）当 时，求t的值及此时直线PQ的解析式；
（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与 相似？当a 为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与 不相似？请给出你的结论，并加以证明.

8、（08黄冈）已知：如图，在直角梯形 中， ，以 为原点建立平面直角坐标系， 三点的坐标分别为 ，点 为线段 的中点，动点 从点 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线 的路线移动，移动的时间为 秒．
（1）求直线 的解析式；
（2）若动点 在线段 上移动，当 为何值时，四边形 的面积是梯形 面积的 ？
（3）动点 从点 出发，沿折线 的路线移动过程中，设 的面积为 ，请直接写出 与 的函数关系式，并指出自变量 的取值范围；
（4）当动点 在线段 上移动时，能否在线段 上找到一点 ，使四边形 为矩形？请求出此时动点 的坐标；若不能，请说明理由．

9、(09年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线 与x轴的交点为点A,与y轴的交点为点B. 过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE‖OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)
(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;
(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;
(3)当0＜t＜ 时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是,请说明理由;
(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程．
提示：第（3）问用相似比的代换，
得PF=OA（定值）。
第（4）问按哪两边相等分类讨论
①PQ=PF,②PQ=FQ,③QF=PF.

三、 直线上动点
8、（2009年湖南长沙）如图，二次函数 （ ）的图象与 轴交于 两点，与 轴相交于点 ．连结 两点的坐标分别为 、 ，且当 和 时二次函数的函数值 相等．
（1）求实数 的值；
（2）若点 同时从 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为 秒时，连结 ，将 沿 翻折， 点恰好落在 边上的 处，求 的值及点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点 ，使得以 为项点的三角形与 相似？如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．

提示：第（2）问发现
特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60°
特殊图形四边形BNPM为菱形；
第(3)问注意到△ABC为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与△ABC相似的△BNQ ，再判断是否在对称轴上。

9、（2009眉山）如图，已知直线 与 轴交于点A，与 轴交于点D，抛物线 与直线交于A、E两点，与 轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。
⑴求该抛物线的解析式；
⑵动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。
⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使 的值最大，求出点M的坐标。

提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形----①P为直角顶点AE为斜边时，以AE为直径画圆与x轴交点即为所求点P，②A为直角顶点时，过点A作AE垂线交x轴于点P，③E为直角顶点时，作法同②；
第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。

10、（2009年兰州）如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标 （长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
(2)求正方形边长及顶点C的坐标；
(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；
(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

注意：第（4）问按点P分别在AB、BC、CD边上分类讨论；求t值时，灵活运用等腰三角形“三线合一”。

11、（2009年北京市）如图，在平面直角坐标系 中，△ABC三个顶点的坐标分别为
， ， ，延长AC到点D,使CD= ,过点D作DE‖AB交BC的延长线于点E.
（1）求D点的坐标；
（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线 将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G为y轴上一点，点P从直线 与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）

提示：第（2）问，平分周长时，直线过菱形的中心；
第（3）问，转化为点G到A的距离加G到（2）中直线的距离和最小；发现（2）中直线与x轴夹角为60°.见“最短路线问题”专题。

12、(2009年上海市)

已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD‖BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足 （如图1所示）．
（1）当AD=2，且点 与点 重合时（如图2所示），求线段 的长；
（2）在图8中，联结 ．当 ，且点 在线段 上时，设点 之间的距离为 ， ，其中 表示△APQ的面积， 表示 的面积，求 关于 的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当 ，且点 在线段 的延长线上时（如图3所示），求 的大小．
注意：第（2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值，然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当PC⊥BD时，点Q、B重合，x获得最小值； 当P与D重合时，x获得最大值。
第（3）问，灵活运用SSA判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证∠BQP＝∠BCP，得B、Q、C、P四点共圆也可求解。

13、（08宜昌）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，P是边AB（含端点）上的动点．过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分别在边BC，AC上．
（1）△ABC与△SBR是否相似，说明理由；
（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；
（3）设边AB＝1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值．

提示：第（3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当p运动到使T与R重合时，PA=TS为最大；当P与A重合时，PA最小。此问与上题中求取值范围类似。

14、(2009年河北)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．

提示：（3）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t值；有二种成立的情形，
DE‖QB，PQ‖BC；
（4）按点P运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出t值；有二种情形，
CQ＝CP＝AQ＝t时，
QC＝PC＝6－t时．

15、（2009年包头）已知二次函数 （ ）的图象经过点 ， ， ，直线 （ ）与 轴交于点 ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线 （ ）上有一点 （点 在第四象限），使得 为顶点的三角形与以 为顶点的三角形相似，求 点坐标（用含 的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 ，使得四边形 为平行四边形？若存在，请求出 的值及四边形 的面积；若不存在，请说明理由．
提示：
第（2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；
第（3）问，四边形ABEF为平行四边形时，E、F两点纵坐标相等，且AB=EF，对第（2）问中两种情形分别讨论。

四、 抛物线上动点
16、（2009年湖北十堰市）如图①， 已知抛物线 （a≠0）与 轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。
第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。

17、（2009年黄石市）正方形 在如图所示的平面直角坐标系中， 在 轴正半轴上， 在 轴的负半轴上， 交 轴正半轴于 交 轴负半轴于 ， ，抛物线 过 三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 是抛物线上 间的一点，过 点作平行于 轴的直线交边 于 ，交 所在直线于 ，若 ，则判断四边形 的形状；
（3）在射线 上是否存在动点 ，在射线 上是否存在动点 ，使得 且 ，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．

注意：第（2）问，发现并利用好NM‖FA且NM＝FA;
第（3）问，将此问题分离出来单独解答，不受其它图形的干扰。需分类讨论，先画出合适的图形，再证明。

近三年黄冈中考数学
“坐标几何题”（动点问题）分析
（马铁汉）
07 08 09
动点个数 两个 一个 两个
问题背景 特殊菱形两边上移动 特殊直角梯形三边上移动 抛物线中特殊直角梯形底边上移动
考查难点 探究相似三角形 探究三角形面积函数关系式 探究等腰三角形

考

点 ①菱形性质
②特殊角三角函数
③求直线、抛物线解析式
④相似三角形
⑤不等式
①求直线解析式
②四边形面积的表示
③动三角形面积函数④矩形性质 ①求抛物线顶点坐标
②探究平行四边形
③探究动三角形面积是定值
④探究等腰三角形存在性

特

点 ①菱形是含60°的特殊菱形；
△AOB是底角为30°的等腰三角形。
②一个动点速度是参数字母。
③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。
④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。 ①观察图形构造特征适当割补表示面积
②动点按到拐点时间分段分类
③画出矩形必备条件的图形探究其存在性
①直角梯形是特殊的（一底角是45°）
②点动带动线动
③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）
④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）
三年共同点：
①特殊四边形为背景；
②点动带线动得出动三角形；
③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；
④求直线、抛物线解析式；
⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。

大趋势：