230问答网 > 已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1．（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设f（x）在区间（2，3）内至少有

已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1．（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设f（x）在区间（2，3）内至少有

2025-02-01 15:45:08

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回答1：

（Ⅰ）由f（x）=x³-3ax²+3x+1得f′（x）=3x²-6ax+3
当a=2时，f′（x）=3x²-6ax+3=3x²-12x+3=3（x²-4x+1）
由f′（x）=3（x²-4x+1）＞0得x＞2+
3
或x＜2?
3
；
由f′（x）=3（x²-4x+1）＜0得2?
3
＜x＜2+
3
；
所以f（x）的单调递增区间是(?∞，2?
3
]和[2+
3
，+∞)，f（x）的单调递减区间是[2?
3
，2+
3
]
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，
等价于方程3x²-6ax+3=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．
∴由3x²-6ax+3=0可得a=

1

2

（x+