导函数没有第一类间断点？

你那是导数不存在的情况下，而当导数存在，才有左右极限要么相等，要么至少有一个不存在(第二类)。当导数在x0处不存在时也可以有第一类的，但是定义域不包括x0。

可去间断点和跳跃间断点属于第一类间断点。

在第一类间断点中，有两种情况，左右极限存在是前提。左右极限相等，但不等于该点函数值f(x0)或者该点无定义时，称为可去间断点，如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处；左右极限在该点不相等时，称为跳跃间断点，如函数y=|x|/x在x=0处。

连续与非连续的定义

设函数 y=f(x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义，如果函数 f(x) 当 x→x0 时的极限存在，且等于它在点 x0 处的函数值 f(x0)，即 limf(x)=f(x0)（x→x0），那么就称函数 f(x) 在点 x0 处 连续。

不连续情形：

1、在点x=x0没有定义；

2、虽在x=x0有定义但lim（x→x0）f(x)不存在；

3、虽在x=x0有定义且limf(x)（x→x0）存在，但lim f(x) ≠f(x0)（x→x0）时则称函数在x0处不连续或间断。

导函数不存在第一类间断点是在其定义域上说的，就是说导函数在它的间断点处是有定义的（也就是原函数在这点是存在导数的），那么这点不可能是导函数的第一类间断点，理由是这样的，如果导函数在该点处有定义（原函数在该点可导），而导函数在该点左右极限都存在但不相等，那么原函数在该点处存在左导数和右导数，分别等于导函数在该处的左极限和可极限，但由于这两个极限不相等，所以原函数在该点处的左导数和右导数不相等，这与导函数在该点有定义（原函数在该点存在导数）矛盾，所以如果导函数在该点存在左右极限且不相等，则导函数在该点处没有定义（原函数在这点不可导，因为左导数和右导数不等），如果要求导函数在该点处有定义（原函数在该点处可导）的话，则导函数在该点处的两上极限要么相等，要么至少有一个不存在。

可去间断点和跳跃间断点属于第一类间断点。

在第一类间断点中，有两种情况，左右极限存在是前提。左右极限相等，但不等于该点函数值f(x0)或者该点无定义时，称为可去间断点，如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处；左右极限在该点不相等时，称为跳跃间断点，如函数y=|x|/x在x=0处。

连续与非连续的定义

设函数 y=f(x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义，如果函数 f(x) 当 x→x0 时的极限存在，且等于它在点 x0 处的函数值 f(x0)，即 limf(x)=f(x0)（x→x0），那么就称函数 f(x) 在点 x0 处 连续。

可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。

函数可导的条件：

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

我把660上的证明拿上来了：设f(x)在(a,b)可导,x0属于（a,b)是f`(x)的间断点.反证法,若为第一类间断点f`(x)在x0点的右极限为A+,左极限为A-推出f(x)在x0点的右导数为A+,左导数为A-又因f(x)在x0点的导数存在,所以左导数等于右导数等于f`(x0)推出f`(x)在x0点的极限等于f`(x0)推出f`(x0)在x0点连续与已知矛盾,所以不存在第一类间断点PS:f`(x)是指f(x)的导数

楼主，这个结论的确是只针对闭区间的哦，结论可以参考考研数学复习全书李永乐71页，因为图片没法上传😓。然后你的第二个例子我觉得你的例子没有问题，但是条件有问题，就是你的导函数的定义域是一个开区间而且0处没有定义，这就已经和结论中要求的闭区间【a，b】矛盾了，就是你举例得出的导函数定义域必须是一个闭区间，如果你在这个闭区间上发现了第一类间断点那这个结论就被你推翻了！