设f(x)的一个原函数为f(x)=sinx⼀x，则∫x대f✀(x)dx=？

答案是(x²-6)cosx-4xsinx+C

解题过程如下：

f(x)=(sinx/x)'

=(xcosx-sinx)/x²

∫x³f'(x)dx=∫x³df(x)

=x³f(x)-∫f(x)·3x²dx

=x³f(x)-3∫(xcosx-sinx)dx

=(x²cosx-xsinx)-3xsinx+3∫sinxdx-3cosx

=(x²-6)cosx-4xsinx+C

扩展资料

定号法则

将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号，符号看象限”（或为“奇变偶不变，符号看象限”）。

在Kπ/2中如果K为偶数时函数名不变，若为奇数时函数名变为相反的函数名。正负号看原函数中α所在象限的正负号。关于正负号有个口诀；一全正，二正弦，三两切，四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角，正弦为正，第三象限，正切和余切为正，第四象限，余弦为正。

或简写为“ASTC”，即“all”“sin”“tan+cot”“cos”依次为正。还可简记为：sin上cos右tan/cot对角，即sin的正值都在x轴上方，cos的正值都在y轴右方，tan/cot 的正值斜着。

比如：90°+α。定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。所以sin（90°+α）=cosα , cos（90°+α）=-sinα 这个非常神奇，屡试不爽~

还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin（90°+α），90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，所以sin（90°+α）=cosα。

简单分析一下，答案如图所示

解：
记F(x)=xf(x)
F'(x)=f(x)+xf'(x)
所以xf'(x)=F'(x)-f(x)
所以∫xf'(x)dx=∫[F'(x)-f(x)]dx
=∫F'(x)dx-∫f(x)dx
=F(x)-sinx/x+C
=xf(x)-sinx/x+C

f(x)=(sinx/x)'
=(xcosx-sinx)/x²

∫x³f'(x)dx=∫x³df(x)
=x³f(x)-∫f(x)·3x²dx
=x³f(x)-3∫(xcosx-sinx)dx
=(x²cosx-xsinx)-3xsinx+3∫sinxdx-3cosx
=(x²-6)cosx-4xsinx+C