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设a,b为正实数，且a+b=1,求证(a+1⼀a)^2+(b+1⼀b)^2≥25⼀2

2024-12-20 15:24:36

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回答1：

a+b=1
(a+b)^=1
a^+2ab+b^=1
(a-b)^-4ab=1
4ab=1-(a-b)^<=1
ab<=1/4
-ab>=-1/4,1/ab>4 (ab为正实数）
a^+b^=1-2ab>=1+2*(-1/4)=1/2

(a+1/a)^+(b+1/b)^
=a^+2+1/a^+b^+2+1/b^
=(a^+b^)+(a^+b^)/(ab)^+4
>=1/2+1/2*(1/ab)^+4
>=1/2+1/2*4^+4=25/2
所以(a+1/a)^+(b+1/b)^≥25/2 （^表示平方)

回答2：

4+a^2+b^2+1/a^2+1/b^2
>=4+(a+b)^2/2+2/(ab)
>=4+1/2+2/[(a+b)^2/4]
>=4+1/2+8

>=25/2(a=b=1/2时，取等号）