abcd属于Q,根号b、根号d为无理数,且a+根号b等于c+根号d,求证a=c,b=d

证明：由于a+根号b=c+根号d,
则 根号b-根号d=c-a. (1)
假设 a不等于c,则
根号b-根号d不等于0,
b不等于d.
则 根号b+根号d=(b-d)/(根号b-根号d)
=(b-d)/(c-a). (2)

由(1)(2)得
根号b=(c-a)/2+(b-d)/[2(c-a)], (3)
又因为a,b,c,d属于Q,
则由(3)得,根号b为有理数,与根号b为无理数矛盾.
故假设不成立,即a=c,此时b=d.

= = = = = = = = =
注意：如果只有条件：根号b、根号d为无理数,
而没有b,d属于Q,
是没有a=c,b=d的.

例如：
a=2,b=2,c=1,d=3+2根号2.
2+根号2=1+根号(3+2根号2).
2,1为有理数,根号2,根号(3+2根号2)是无理数.

因为 d=(a-c+根号b)^2不一定是有理数.

∵abcd属于Q,根号b、根号d为无理数,且a+根号b等于c+根号d
∴a=c,b=d
根据有理数只能等于有理数，无理数只能等于无理数