对于
ax=λx,
ay=μy,
x≠0,
y≠0
直接推出
y^hax=λy^hx,
x^hay=μx^hy
对第二个式子取转置共轭得
y^hax=μy^hx
(因为μ是实数)
然后相减之后得到
(λ-μ)y^hx=0
再用
λ≠μ
得到结论
该命题成立的前提是A是对称阵
设c1,
c2是两个A的不同特征值，x,
y分别是其对应的特征向量，有
A
*
x
=
c1
*
x
A
*
y
=
c2
*
y
分别取转置，并分别两边右乘y和x，得
x'
*
A'
*
y
=
c1
*
x'
*
y
y'
*
A'
*
x
=
c2
*
y'
*
x
=
c2
*
x'
*
y
对应相减
(c1
-
c2)
x'
*
y
=
x'
*
A'
*
y
-
y'
*
A'
*
x
=
0
而
c1
-
c2
≠
0，因此
x'
*
y
=
0
证毕
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