微积分多元函数极值求解

方法如下图所示，

请认真查看，

祝学习愉快：

(1)z=4x－y－x²－y²
∂z/∂x=4－2x=0
∂z/∂y=－1－2y=0
可得x=2，y=－1/2
A=∂²z/∂x²=－2
B=∂²z/∂x∂y=0
C=∂²z/∂y²=－2
B²－AC=－4＜0，A＜0
所以z(x，y)有极大值z(2，－1/2)=8＋1/2－4－1/4=17/4
(2)z=(x＋y²＋2y)e^(2x)
∂z/∂x=(2x＋2y²＋4y＋1)e^(2x)=0
∂z/∂y=(2y＋2)e^(2x)=0
可得x=1/2，y=－1
A=∂²z/∂x²=(4x＋4y²＋8y＋4)e^(2x) |(1/2，－1)=2e
B=∂²z/∂x∂y=(4y＋4)e^(2x) |(1/2，－1) =0
C=∂²z/∂y²=2e^(2x) |(1/2，－1) =2e
B²－AC=－4e²＜0，A＞0
所以函数z(x，y)有极小值z(1/2，－1)=－e/2
(3)z=3axy－x³－y³(a＞0)
∂z/∂x=3ay－3x²=0
∂z/∂y=3ax－3y²=0
x(x－a)(x²＋ax＋a²)=0
可得x=0 ，y=0或者x=a，y=a
A=∂²z/∂x²=－6x
B=∂²z/∂x∂y=3a
C=∂²z/∂y²=－6y
当x=0，y=0时，A=0，B=3a，C=0
B²－AC=9a²＞0，z(0，0)不是极值
当x=a，y=a时，A=－6a，B=3a，C=－6a
B²－AC=－27a²＜0，A ＜0
所以有极大值z(a，a)=a³
(4)z=axy－x－y(a≠0)
∂z/∂x=ay－1=0
∂z/∂y=ax－1=0
可得x=1/a，y=1/a
A=∂²z/∂x²=0
B=∂²z/∂x∂y=a
C=∂²z/∂y²=0
B²－AC=a²＞0
所以函数无极值