由于双纽线关于两坐标轴均对称,用两次奇偶对称性∫|y|ds=4∫ y ds 积分区域为第一象限部分,下面用极坐标双纽线极坐标方程为：r⁴=a²(r²cos²θ-r²sin²θ),即：r²=a²cos2θ两边对θ求导得：2rr'=-2a²sin2θ,即：r'=-(a²/r)sin2θ两边平方：(r')²=(a⁴/r²)sin²2θ,将r²=a²cos2θ代入得：(r')²=a²sin²2θ/cos2θds=√(r²+(r')²)dθ=√(a²cos2θ+a²sin²2θ/cos2θ)dθ=a√((cos²2θ+sin²2θ)/cos2θ)dθ=a√(1/cos2θ)dθy=rsinθ=a√(cos2θ)sinθ∫|y|ds=4∫ y ds 积分区域为第一象限部分=4∫[0--->π/4] a√(cos2θ)sinθ*a√(1/cos2θ) dθ=4a²∫[0--->π/4] sinθdθ=-4a²cosθ |[0--->π/4]=4a²(1-√2/2)=2a²(2-√2)
因为方程可以化为r2=a2*cos2θ，而r2大于等于0，所以cos2θ大于等于0，得出θ小于等于45度
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