已知函数f（x）=2x⼀x的平方＋1,求定义域，值域。判断奇偶性，单调性

注意此题用求导的方法做比较简单

1.解：由题可知此题的定义域为R

令f'(x)=(-2X^2+2)/(X^2+1)^2=0

   得X=1或X=-1即可f(x)在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递减  在[-1,1]单调递增

故得f（x）的级大值为f（1）=1极小值为f（-1）=-1    f（-∞）趋向于0   f（+∞）趋向于0  故此时的极大值极小值就是最大值和最小值   故此题值域为[-1,1]

2.由题可知-f(-x)=2x/x^2+1=f(x)

   即此函数为奇函数

3.当调性有第一问可知

在[-1,1]上为单调递增，在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递减  

4.

分母不等于0
x²+1≠0
x²≠-1
然不等式肯定成立
所以定义域是R

f(x)=2x/(x²+1)
上下除以x
=2/(x+1/x)
则x>0,x+1/x≥2√(x*1/x)=2
x<0,则-x>0
所以-x+1/(-x)≥2√[(-x)*1/(-x)]=2
所以x+1/x≤-2
所以x+1/x≤-2，x+1/x≥2
所以-1/2≤1/(x+1/x)<0，0<1/(x+1/x)≤1/2
所以-1≤2/(x+1/x)<0，0<2/(x+1/x)≤1
且f(0)=0
所以值域[-1,1]

f(-x)=-2x/(x²+1)=-f(x)
且定义域是R，关于原点对称
所以是奇函数

f(x)==2/(x+1/x)
分母是对勾函数
则0同理，x>1,2/(x+1/x)是减函数
奇函数则对称区间内单调性相同
所以
x<-1,x>1是减函数
-1

定义域显然为：x∈R
值域：
f(x)=2x/(x^2+1).
当x≠0时，
f(x)=2/(x+1/x)
因为：
x+1/x>=2 x>0
x+1/x<=-2 x<0

x=0,f(x)=0
所以
-1<=2/(x+1/x)<=1

f(-x)=-2x/[(-x)^2+1]=-2x/(x^2+1)=-f(x)
函数为奇函数

令x1则f(x1)-f(x2)=
2x1/(x1^2+1)-2x2/(x2^2+1)
=[2x1(x2^2+1)-2x2(x1^2+1)]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
=[(2x1x2-2)(x2-x1)]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
则可知，当x1,x2<-1时，
则2x1x2+2>0，而x2-x1>0
则f(x1)-f(x2)>0，函数单减

当-1则2x1x2+2<0，而x2-x1>0
则f(x1)-f(x2)<0，函数单增

当x1,x2>1时，
则2x1x2+2>0，而x2-x1>0
则f(x1)-f(x2)>0，函数单减

分母是x2+1>0,所以定义域是全体实数
f(x)=2x/x2+1
=2/(x+ 1/x)
当x>0时，由x+ 1/x>=2,知，f(x)=<1
当x<0时，由x+ 1/x=<-2,知，f(x)>=-1
所以值域是-1=f(-x)=-2x/x2+1=-f(x)
所以是奇函数
当x>0时，f(x)在1到正无穷大上是减的，在0到1上是增的
当x<0时，f(x)在-1到负无穷大上是减的，在0到-1上是增的