230问答网 > 在三角形ABC中，三个内角ABC所对的边分别是abc，且a<b<=c,b⼀a=b^2+c^2-a^2⼀bc. 求y=sinA+cosB的最大值.

在三角形ABC中，三个内角ABC所对的边分别是abc，且a<b<=c,b⼀a=b^2+c^2-a^2⼀bc. 求y=sinA+cosB的最大值.

请详细讲一下,另外也请讲下求这些最值的一些常用的方法谢谢

2024-12-22 17:43:13

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回答1：

解：利用三角形的正弦和余弦定理
b/a=(b^2+c^2-a^2)/(bc)
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
a/sinA=b/sinB
得sinB=sin(2A)
B=2A,或B=180°-2A
B=180°-2A时，
A+B+C=180°
解得A=C
a所以B=2A
180°=A+B+C=3A+C<4A
A<45°
0y=sinA+cosB=sinA+cos(2A)=sinA+1-2(sinA)^2=-(sinA-1/4)^2+9/8≤9/8
当且仅当sinA=1/4时，y=sinA+cosB的最大值：9/8

回答2：

1、sinA 和cosB分别有个用边长a、b、c的计算公式。
2、用这个公式应该得到y=sinA+cosB的计算等式，将这个等式尽量利用公式b/a=b^2+c^2-a^2/bc简化，得到一个《=的公式。利用a-b<0、a-c <0、b-c<=0，尽量满足这些条件，得到最小值。