(5)因为x=1为瑕点,而
lim(1-x)[arctanx/(1-x^3)]=pi/12(其中x→1-)
即p=1,λ=pi/12,所以此瑕积分发散
(6)因为x=0为瑕点,而
limx^(m-2)[(1-cosx)/x^m]=lim(1-cosx)/x^2=1/2
即λ=1/2
故当m<3时,此瑕积分收敛,m≥3时发散
(7)因为x=0为瑕点,而
|f(x)|=||≤1/x^α
故当0<α<1时绝对收敛
1≤α<2时条件收敛
α≥2时发散
(8)首先将积分区域分为两部分(0,+∞)=[0,e]∪(e,+∞)
∫exp(-x)lnxdx在(0,e]上的瑕点为x=0,因为
limx^(1/2)exp(-x)lnx=0所以∫exp(-x)lnxdx在(0,e]上收敛
无穷积分∫exp(-x)lnxdx在(e,+∞)上也收敛
因为limx^2lnx/exp(x)=0(其中x→+∞)
所以此瑕积分收敛