求同余式组x≡6mod13,x≡7mod24

{x=6(mod b). x=7(mod24))}
解：
当b,24互质时，即gcd(b,24)=1时，有解。
此时不妨设x=24p+bq,易见当p,q取整数时，x可能取遍所有整数，故此设定可行。
代入原同余式即有：24p==6 mod b, bq==7 mod 24，视具体情况求解。
或者利用欧拉缩系计数函数得到通解，过程如下：
gcd(b,24)=1,故gcd(b,4)=1，gcd(b,6)=1，故
4p=1 mod b, p==4^(φ(b)-1) mod b
q==7*b^(φ(24)-1)=7*b^7 mod 24.
于是 x=24*4^(φ(b)-1)+7*b^8 mod (24*b) == 6*4^φ(b)+7*b^8 mod (24*b)

当b,24不互质，即gcd(b,24)>1时，
有24=b*t, 由x==7 mod 24得x==7 mod b，又x==6 mod b，于是7==6 mod b, 1==0 mod b, 则必有b=1，此时gcd(b,24)=1，与gcd(b,24)>1矛盾。

综上，此同余式组仅当b,24互质时有解x== 6*4^φ(b)+7*b^8 mod (24*b)，当b,24不互质时无解。