用极限定义证明lim（n！⼀n^n）=0

利用极限的定义！

任意ε>0，要使得（n！/n^n）<ε，则

n!/n^n

=n(n-1)(n-2)...2*1/(n*n*...)

=1/n<ε

则只要n>1/ε

取N=[1/ε]，当n>N，有n>1/ε，从而有

（n！/n^n）<ε恒成立

则有lim（n！/n^n）=0

扩展资料：

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：

第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。

第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。

N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

参考资料来源：百度百科——函数极限

利用极限的定义！

任意ε>0,要使得（n！/n^n）<ε，则
n!/n^n
=n(n-1)(n-2)...2*1/(n*n*...)
=1/n<ε
则只要n>1/ε,
取N=[1/ε],当n>N,有n>1/ε，从而有
（n！/n^n）<ε恒成立
则有lim（n！/n^n）=0

见图

任意ε>0,要使得（n！/n^n）<ε，则
n!/n^n
=n(n-1)(n-2)...2*1/(n*n*...)
=1/n<ε
则只要n>1/ε,
取N=[1/ε],当n>N,有n>1/ε，从而有
（n！/n^n）<ε恒成立
则有lim（n！/n^n）=0
希望你可以把问题发到 论坛上看看 专业论坛会帮助你成功 学更好

证明：对任意ε>0，可找N=1/ε>0,使得当n>N时 有
|n！/n^n-0|=n！/n^n=(n/n)[(n-1)/n]…(1/n)《1/n<ε
故由定义知 lim（n！/n^n）=0