设fx gx在ab上连续,在ab内二阶可导且存在相等的最大值

2024-12-14 05:49:57

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回答1：

简单计算一下即可，答案如图所示

回答2：

令F（x）=f（x）-g（x），则F（x）在上连续，在（a，b）内具有二阶导数且F（a）=F（b）=0．
（1）若f（x），g（x）在（a，b）内同一点c取得最大值，
则f（c）=g（c）⇒F（c）=0，
于是由罗尔定理可得，
存在ξ₁ ∈（a，c），ξ₂ ∈（c，b），
使得F′（ξ₁ ）=F′（ξ₂ ）=0．
再利用罗尔定理，可得，
存在ξ∈（ξ₁ ，ξ₂ ），
使得F″（ξ）=0，即f″（ξ）=g″（ξ）．
（2）若f（x），g（x）在（a，b）内不同点c₁ ，c₂ 取得最大值，
则f（c₁ ）=g（c₂ ）=M，
于是F（c₁ ）=f（c₁ ）-g（c₁ ）＞0，F（c₂ ）=f（c₂ ）-g（c₂ ）＜0，
于是由零值定理可得，存在c₃ ∈（c₁ ，c₂ ），使得F（c₃ ）=0
于是由罗尔定理可得，存在ξ₁ ∈（a，c₃ ），ξ₂ ∈（c₃ ，b），使得F′（ξ₁ ）=F′（ξ₂ ）=0．
再利用罗尔定理，可得，存在ξ∈（ξ₁ ，ξ₂ ），使得F″（ξ）=0，即f″（ξ）=g″（ξ）．