积分x^3arccosx⼀根号1-x^2

∫ x^3.arccosx/√(1-x^2 ) dx

= -∫ x^2.arccosx d√(1-x^2 )

=-x^2.√(1-x^2 ).arccosx +∫[ 2x.√(1-x^2 ).arccosx - x^2 ] dx

=-x^2.√(1-x^2 ).arccosx - (1/3)x^3 +2∫x.√(1-x^2 ).arccosx dx

=-x^2.√(1-x^2 ).arccosx - (1/3)x^3 -(2/3)∫arccosx d(1-x^2 )^(3/2)

=-x^2.√(1-x^2 ).arccosx - (1/3)x^3 -(2/3)(1-x^2 )^(3/2).arccosx

- (2/3)∫√(1-x^2 ) dx

=-x^2.√(1-x^2 ).arccosx - (1/3)x^3 -(2/3)(1-x^2 )^(3/2).arccosx

- (1/3)[ arcsinx+ x/(1+x^2) ] + C

x=sinu

dx =cosu du

∫√(1-x^2 ) dx

=∫ (cosu)^2 du

=(1/2)∫ (1+cos2u) du

=(1/2)[u+(1/2)sin2u] +C'

=(1/2)[ arcsinx+ x/(1+x^2) ]+ C'

扩展资料：

设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

参考资料来源：百度百科——不定积分

∫ x^3.arccosx/√(1-x^2 ) dx
= -∫ x^2.arccosx d√(1-x^2 )
=-x^2.√(1-x^2 ).arccosx +∫[ 2x.√(1-x^2 ).arccosx - x^2 ] dx
=-x^2.√(1-x^2 ).arccosx - (1/3)x^3 +2∫x.√(1-x^2 ).arccosx dx
=-x^2.√(1-x^2 ).arccosx - (1/3)x^3 -(2/3)∫arccosx d(1-x^2 )^(3/2)
=-x^2.√(1-x^2 ).arccosx - (1/3)x^3 -(2/3)(1-x^2 )^(3/2).arccosx
- (2/3)∫√(1-x^2 ) dx
=-x^2.√(1-x^2 ).arccosx - (1/3)x^3 -(2/3)(1-x^2 )^(3/2).arccosx
- (1/3)[ arcsinx+ x/(1+x^2) ] + C
//
let
x=sinu
dx =cosu du
∫√(1-x^2 ) dx
=∫ (cosu)^2 du
=(1/2)∫ (1+cos2u) du
=(1/2)[u+(1/2)sin2u] +C'
=(1/2)[ arcsinx+ x/(1+x^2) ]+ C'

令x=cost，详情如图所示

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