证明：70！≡61！（mod 71）

 证明：70！≡61！（mod 71）：

解：引理：ac==bc mod m,(c,m)=1,则a==b.证略。

依引理，只须证70!/61!==1 mod 71

即 70*69*...62==-1*-2*...*-9==-9!==-362880==1，显然。

两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m。

记作：a≡b (mod m)，

读作：a同余于b模m，或读作a与b对模m同余，例如26≡2(mod 12)。

扩展资料：

同余式，设m是给定的一个正整数，a、b是整数，若满足m|(a-b)，则称a与b对模m同余，记为a≡b(mod m)，或记为a≡b(m)。

这个式子称为模m的同余式，若m∤ (a-b)，则称a、b对模m不同余，同余概念又常表达为：

1.a=b+km(k∈Z)；

2.a和b被m除时有相同的余数。 同余式的记号由高斯(Gauss,C.F.)于1800年首创,发表在他的数论专著《算术研究》之中。

70!-61!
=70*69*68*67*66*65*64*63*62*61!-61!
=(70*69*68*67*66*65*64*63*62-1) *61!

因为 70*69*68*67*66*65*64*63*62 mod 71
=(71-1)(71-2)(71-3)(71-4)(71-5)(71-6)(71-7)(71-8)(71-9) mod 71
= -9! mod 71
= -7!(8*9) mod 71
= -7!(71+1) mod 71
= -7! mod 71
= -5040 mod 71
= -(71*71)+1 mod 71
=1 mod 71
所以
70*69*68*67*66*65*64*63*62-1 mod 71=0
所以 70!-61! mod 71=0
命题得证

70！＞61！