将函数fx=1⼀(x+2)在点x=2处展开成泰勒级数！！

解：原式=f（x）=1／（x＋4）

=1/[6+(x-2)]

=1/6 *1/(1+(x-2)/6)

=1/6Σ(-1)^n*(x-2)^n (n从0到∞）

=ln2+ln[1+(x-2)/2]

=ln2+Σ(-1)ⁿ[(x-2)/2]ⁿ/n

|x-2|<1

扩展资料

公式：

性质：

将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x。

其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。

这是分式函数，凑成几何级数的展开式。

因为在x=2点展开，所以把函数凑成关于(x-2)的函数

【如果在x=3点展开，就凑成x-3的函数，其余同理。但展开点必须是解析点】

按照几何级数展开：

上面的收敛区间是通过几何级数的求和条件得到的。也可以按照泰勒展开定理求解：

展开点是x=2，距离这一点最近的奇点（不解析的点，对一元实变函数就是不满足无穷阶可导的点）是x=-2，所以收敛半径为两者之间的距离R=|2-(-2)|=4，再判断端点处的收敛性，从而得到以上收敛区间。