解:原式=f(x)=1/(x+4)
=1/[6+(x-2)]
=1/6 *1/(1+(x-2)/6)
=1/6Σ(-1)^n*(x-2)^n (n从0到∞)
=ln2+ln[1+(x-2)/2]
=ln2+Σ(-1)ⁿ[(x-2)/2]ⁿ/n
|x-2|<1
公式:
性质:
将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数,且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数,则对闭区间[a,b]上任意一点x。
其中,表示f(x)的n阶导数,等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式,剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项,是(x-x0)n的高阶无穷小。
这是分式函数,凑成几何级数的展开式。
因为在x=2点展开,所以把函数凑成关于(x-2)的函数
【如果在x=3点展开,就凑成x-3的函数,其余同理。但展开点必须是解析点】
按照几何级数展开:
上面的收敛区间是通过几何级数的求和条件得到的。也可以按照泰勒展开定理求解:
展开点是x=2,距离这一点最近的奇点(不解析的点,对一元实变函数就是不满足无穷阶可导的点)是x=-2,所以收敛半径为两者之间的距离R=|2-(-2)|=4,再判断端点处的收敛性,从而得到以上收敛区间。