求定积分∫(π,0)(xsinx)⼀(1+cosx^2) dx的值

定积分∫(π,0)(xsinx)/(1+cosx^2) dx的值等于π^2/4 。

解答过程如下：

扩展资料

常用的积分公式有：

f(x)->∫f(x)dx

k->kx

x^n->[1/(n+1)]x^（n+1）

a^x->a^x/lna

sinx->-cosx

cosx->sinx

tanx->-lncosx

cotx->lnsinx

定积分∫(π,0)(xsinx)/(1+cosx^2) dx的值等于π^2/4 。解答过程如下：

定积分解法

1、分项积分法

就是积分的性质，比如一个函数在不同的定义域有不同的表达式,积分的时候就分段来积分，那么表达式一样的函数，也可以分成一段段来积分,当然前提要满足函数可积。

2、三角替换法

 x^2+y^2=1利用三角代换 令x=sina,y=cosa带入原式就变成了sin^2a+cos^2b=1使用三角代换需要满足一定的条件。

可惜，楼上解错了。

下图提供的详细解法，请楼主参考，解答正确无误。

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令x=π-t，则0≤t≤π.
原式=I=∫(0,π)(π-t)sin(π-t)/[1+cos(π-t)^2]d(π-t)
=∫(π,0)(π-t)sint/(1+cost^2)dt
=π∫(0,π)dcost/(1+cost^2)-∫(π,0)tsint/(1+cost^2)dt 后一个积分是和原式相等
所以
2I=π∫(0,π)dcost/(1+cost^2)
=πarctan(cost)|(0,π)
=π[π/4-(-π/4)]
=π^2/2

原式=π^2/4