我想学习函数，确不能理解函数的定义，为什么要那么叫，为什么用那么...

函数的传统定义：

设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。

我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

函数的近代定义：

设A，B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域，显然有CB。

符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示，应理解为：

x是自变量，它是法则所施加的对象；f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x为允许的某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值，当f用解析式表示时，则解析式为函数解析式。y=f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式，在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号来表示。

对函数概念的理解

函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。这样，就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射。

由函数的近代定义可知，函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。y＝f（x）的意义是：y等于x在法则f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y的纽带，所以是函数的核心。至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则，这是无关紧要的。

微积分教程 (第一卷)，菲赫金哥尔茨

数学分析 (第一卷)，卓里奇

随便选一本都有详细的介绍，或者找本 “ 朴素集合论 ” 的书也可以。

任给两个集合 X, Y,

X 到 Y 的一个函数是指： X×Y 上的一个 2 元关系 (或者叫子集) F，使得

对任意的 x∈X，都有且只有一个 y ∈ Y 和 x 有关系 F

记为 x F y 或者 y = F(x)

[注 1] X×Y = {(x,y): x∈X, y∈Y}

[注 2] X×Y 中的任一子集 S 都叫 X 到 Y 的一个关系，如果 (a,b)∈S, 就说 a,b 有关系 S

记为 a S b 或者 b = S(a)

[注 3] 函数只是一种比较特殊的关系而已，满足上面定义中的那个条件。还有很多不是函数的关

系也是很有数学意义的，比如序关系(小学学的数的大小关系就是一种序关系)，等价关系
(小学学的等于就是一种等价关系)，就连加减乘除都可以用关系来定义 (习题，试着想想)

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例子. 设 X = Y = [0,1], F 定义为：x 和 x^2 有关系，也就是 [0,1]×[0,1] 的子集 {(x,x^2): x∈[0,1]}

显然，对每一个 x ∈[0,1] = X,

x 的平方还在 Y=[0,1] 中，且当 x 确定时, x^2 就确定了

所以，

对 X 中的每个元 x, 都有且仅有 Y 中的元 x^2, 使得 x 和 x^2 有关系 F

于是这样定义的二元关系就是从 X 到 Y 的一个函数，记为 y = x^2
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既然你要通俗定义，我就直接用程序来解释什么是函数

比如你用 C 写了一个程序，在你运行的时候，有时电脑会提示你输入参数，然后你输入的其实就是 X 中的元，完了敲回车，程序运行完了一般会给一个 “唯一” 的结果，那个就是 Y 里面通过关系 “程序” 和 X 中输入的那个参数相连系的元。也就是说，一个正常的程序就是一个函数，给一个值，出且只出一个值。