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求三重积分∫∫∫(x^99y^100z^101)dxdydz 积分域是单位球体x^2＋y^2＋z^2≤1，答案是0，对吗

2025-01-24 11:24:08

推荐回答（2个）

回答1：

对的，考虑其中一个变量的时候，把其余两个变量都当作常数看待就是了
区域关于三个平面都对称
例如
x^99关于x是奇函数，可以得出积分已经等于0了
z^101关于z是奇函数，也可以得出积分等于0
当被积函数关于y是偶函数时也没有影响的，因为存在上面两个条件了
所以这积分结果是0

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回答2：

解：∫∫∫<Ω>z^2dxdydz=∫<0,2π>dθ∫<0,1>rdr∫z^2dz (作柱面坐标变换)
=2π∫<0,1>(1/3)((2-r^2)^(3/2)-r^3)rdr
=(2π/3)[∫<0,1>(2-r^2)^(3/2)rdr-∫<0,1>r^4dr]
=(2π/3)[(4√2-1)/5-1/5]
=4(√2-1)/15。